Links:
Examples of Stan code for regression models
What is in the stan fit object?
Dataset Howell from the rethinking package.
data(Howell1)
howell1 <- Howell1
head(howell1)
## height weight age male
## 1 151.765 47.82561 63 1
## 2 139.700 36.48581 63 0
## 3 136.525 31.86484 65 0
## 4 156.845 53.04191 41 1
## 5 145.415 41.27687 51 0
## 6 163.830 62.99259 35 1
str(howell1)
## 'data.frame': 544 obs. of 4 variables:
## $ height: num 152 140 137 157 145 ...
## $ weight: num 47.8 36.5 31.9 53 41.3 ...
## $ age : num 63 63 65 41 51 35 32 27 19 54 ...
## $ male : int 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 ...
ggplot(howell1, aes(height),bins=50) + geom_histogram(aes(y = ..count..), fill="darkgreen",binwidth = 1, alpha=0.4) +
theme(axis.line = element_line(size=1, colour = "black"),
panel.grid.major = element_line(colour = "#d3d3d3"),
panel.grid.minor = element_blank())
Subset with only individuals over 18 years old:
howell2 <- howell1[howell1$age >= 18 , ]
plot_grid(ggplot(howell2, aes(height),bins=50) + geom_histogram(aes(y = ..count..), fill="darkgreen",binwidth = 1, alpha=0.4) +
theme(axis.line = element_line(size=1, colour = "black"),
panel.grid.major = element_line(colour = "#d3d3d3"),
panel.grid.minor = element_blank()),
ggplot(howell2, aes(weight),bins=50) + geom_histogram(aes(y = ..count..), fill="blue",binwidth = 1, alpha=0.4) +
theme(axis.line = element_line(size=1, colour = "black"),
panel.grid.major = element_line(colour = "#d3d3d3"),
panel.grid.minor = element_blank()))
ggplot(howell2,aes(y=height,x=weight))+geom_point() + theme(axis.line = element_line(size=1, colour = "black"),
panel.grid.major = element_line(colour = "gray95"),
panel.grid.minor = element_blank())
\[ h_{i} \sim \mathcal{N}(\mu \, , \, \sigma^2)\] \[\mu \sim \mathcal{N}(178,20)\]
Data in a list:
m1.data <- list(N = nrow(howell2), height = howell2$height)
explicitly incrementing the log probability function
https://mc-stan.org/docs/2_18/reference-manual/increment-log-prob-section.html
“The basis of Stan’s execution is the evaluation of a log probability function (specifically, a probability density function) for a given set of (real-valued) parameters; this function returns the log density of the posterior up to an additive constant. Data and transformed data are fixed before the log density is evaluated. The total log probability is initialized to zero. Next, any log Jacobian adjustments accrued by the variable constraints are added to the log density (the Jacobian adjustment may be skipped for optimization). Sampling and log probability increment statements may add to the log density in the model block. A log probability increment statement directly increments the log density with the value of an expression as follows.”
https://stackoverflow.com/questions/40289457/stan-using-target-syntax
“The target density is the density from which the sampler samples and it needs to be equal to the joint density of all the parameters given the data up to a constant (which is usually achieved via Bayes’s rule by coding as the joint density of parameters and modeled data up to a constant).”
data { // observed variables
int<lower=1> N; // number of observations
vector[N] height; // response variables
}
parameters { // unobserved variables
real mu;
real<lower=0,upper=50> sigma;
}
model {
target += normal_lpdf(height | mu, sigma); // likelihood
target += normal_lpdf(mu | 178, 20); // prior of the mean
}
fit.m1.1 <- sampling(m1.1, data = m1.data, iter = 1000, chains = 2, cores = 2)
print(fit.m1.1, probs = c(0.10, 0.5, 0.9))
## Inference for Stan model: bb69f84792e053a2e0234193f5617c02.
## 2 chains, each with iter=1000; warmup=500; thin=1;
## post-warmup draws per chain=500, total post-warmup draws=1000.
##
## mean se_mean sd 10% 50% 90% n_eff Rhat
## mu 154.64 0.02 0.41 154.08 154.63 155.18 612 1
## sigma 7.77 0.01 0.29 7.42 7.75 8.14 875 1
## lp__ -1223.11 0.04 0.94 -1224.36 -1222.83 -1222.23 467 1
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Fri Nov 22 17:45:12 2019.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).
using the sampling statement
Difference with explicitly incrementing the log probability function:
“The sampling statement drops all the terms in the log probability function that are constant, whereas the explicit call to normal_lpdf adds all of the terms in the definition of the log normal probability function, including all of the constant normalizing terms. Therefore, the explicit increment form can be used to recreate the exact log probability values for the model. Otherwise, the sampling statement form will be faster if any of the input expressions involve only constants, data variables, and transformed data variables.”
https://mc-stan.org/docs/2_18/reference-manual/sampling-statements-section.html
Bounding sigma in the parameter block:
data { // observed variables
int<lower=1> N; // number of observations
vector[N] height; // response variables
}
parameters { // unobserved variables
real mu;
real<lower=0,upper=50> sigma;
}
model {
height ~ normal(mu,sigma); // likelihood
mu ~ normal(178, 20); // prior of the mean
}
fit.m1.2.1 <- sampling(m1.2.1, data = m1.data, iter = 1000, chains = 2, cores = 2)
print(fit.m1.2.1, probs = c(0.10, 0.5, 0.9))
## Inference for Stan model: 362449507f9771e1464afdb2ddaff73e.
## 2 chains, each with iter=1000; warmup=500; thin=1;
## post-warmup draws per chain=500, total post-warmup draws=1000.
##
## mean se_mean sd 10% 50% 90% n_eff Rhat
## mu 154.62 0.01 0.41 154.12 154.62 155.17 892 1
## sigma 7.77 0.01 0.29 7.43 7.77 8.17 922 1
## lp__ -895.73 0.04 0.91 -897.01 -895.42 -894.86 542 1
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Fri Nov 22 17:46:01 2019.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).
Specifying the prior of sigma in the model block (\(\sigma \sim \mathcal{U}(0,50)\)):
data { // observed variables
int<lower=1> N; // number of observations
vector[N] height; // response variables
}
parameters { // unobserved variables
real mu;
real sigma;
}
model {
height ~ normal(mu,sigma); // likelihood
mu ~ normal(178, 20); // prior of the mean
sigma ~ uniform(0,50); // prior of sigma
}
fit.m1.2.2 <- sampling(m1.2.2, data = m1.data, iter = 1000, chains = 2, cores = 2)
print(fit.m1.2.2, probs = c(0.10, 0.5, 0.9))
## Inference for Stan model: 4ad4544d00fe0bd73bdaf4a55e08b243.
## 2 chains, each with iter=1000; warmup=500; thin=1;
## post-warmup draws per chain=500, total post-warmup draws=1000.
##
## mean se_mean sd 10% 50% 90% n_eff Rhat
## mu 154.62 0.02 0.41 154.10 154.61 155.15 548 1
## sigma 7.78 0.01 0.30 7.40 7.77 8.17 551 1
## lp__ -897.63 0.05 1.01 -898.94 -897.30 -896.73 422 1
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Fri Nov 22 17:46:47 2019.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).
data { // observed variables
int<lower=1> N; // number of observations
vector[N] height; // response variables
}
parameters { // unobserved variables
real mu;
real<lower=0,upper=50> sigma;
}
model {
for (n in 1:N)
height[n] ~ normal(mu,sigma); // likelihood
mu ~ normal(178, 20); // prior of the mean
}
fit.m1.3 <- sampling(m1.3, data = m1.data, iter = 1000, chains = 2, cores = 2)
print(fit.m1.3, probs = c(0.10, 0.5, 0.9))
## Inference for Stan model: 2c0d3bdaed726863b2342ed270e93080.
## 2 chains, each with iter=1000; warmup=500; thin=1;
## post-warmup draws per chain=500, total post-warmup draws=1000.
##
## mean se_mean sd 10% 50% 90% n_eff Rhat
## mu 154.60 0.02 0.42 154.06 154.60 155.14 721 1
## sigma 7.77 0.01 0.30 7.40 7.76 8.18 776 1
## lp__ -895.76 0.04 0.94 -897.04 -895.48 -894.87 456 1
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Fri Nov 22 17:47:37 2019.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).
Vectorized with target += notation:
get_elapsed_time(fit.m1.1)
## warmup sample
## chain:1 0.013483 0.011086
## chain:2 0.018512 0.020148
Vectorized with Jags-like notation:
# not specifying the prior of sigma
get_elapsed_time(fit.m1.2.1)
## warmup sample
## chain:1 0.020005 0.021851
## chain:2 0.018100 0.012708
# Specifying the prior of sigma
get_elapsed_time(fit.m1.2.2)
## warmup sample
## chain:1 0.062646 0.015833
## chain:2 0.021128 0.010710
Unvectorized:
get_elapsed_time(fit.m1.3)
## warmup sample
## chain:1 0.074360 0.090645
## chain:2 0.099856 0.095281
\[ h_{i} \sim \mathcal{N}(\mu \, , \, \sigma^2)\] \[\mu \sim \mathcal{N}(178,0.1)\]
Data in a list:
m2.data <- list(N = nrow(howell2), height = howell2$height)
data { // observed variables
int<lower=1> N; // number of observations
vector[N] height; // response variables
}
parameters { // unobserved variables
real mu;
real<lower=0,upper=50> sigma;
}
model {
target += normal_lpdf(height | mu, sigma); // likelihood
target += normal_lpdf(mu | 178, 0.1); // prior of the mean
}
fit.m2 <- sampling(m2 , data = m2.data, iter = 1000, chains = 2, cores = 2)
print(fit.m2, probs = c(0.10, 0.5, 0.9))
## Inference for Stan model: 732cdcf02bdc315da3f0b397f4c17596.
## 2 chains, each with iter=1000; warmup=500; thin=1;
## post-warmup draws per chain=500, total post-warmup draws=1000.
##
## mean se_mean sd 10% 50% 90% n_eff Rhat
## mu 177.86 0.00 0.09 177.74 177.86 177.99 779 1
## sigma 24.56 0.03 0.94 23.37 24.57 25.74 827 1
## lp__ -1623.61 0.05 0.93 -1624.84 -1623.32 -1622.79 365 1
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Fri Nov 22 17:48:28 2019.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).
Model equation:
\[\begin{align*} h_{i} \sim & \, \mathcal{N}(\mu_{i} \, , \, \sigma^2) \\[4pt] \mu_{i} = & \, \beta_{1} + \beta_{2} w_{i}\\[4pt] \beta_{1} \sim & \, \mathcal{N}(178,100)\\[4pt] \beta_{2} \sim & \, \mathcal{N}(0,10)\\[4pt] \sigma \sim & \, \mathcal{U}(0,5)\\[4pt] \end{align*}\]
Centering the predictor:
howell2$weight.c <- howell2$weight - mean(howell2$weight)
Data in a list:
m3.data <- list(N = nrow(howell2), height = howell2$height, weight = howell2$weight.c)
data { // observed variables
int<lower=1> N; // number of observations
vector[N] height; // response variables
vector[N] weight; // predictor (previously centered)
}
parameters { // unobserved variables
real beta[2]; // parameters: intercept and slopes
real sigma;
}
model {
height ~ normal(beta[1] + beta[2]*weight ,sigma); // likelihood
beta[1] ~ normal(178, 100); // prior of the intercept
beta[2] ~ normal(0, 10); // prior of the slope
sigma ~ uniform(0,50);
}
fit.m3.1 <- sampling(m3.1, data = m3.data, iter = 1000, chains = 4, cores = 4)
print(fit.m3.1, probs = c(0.10, 0.5, 0.9))
## Inference for Stan model: dca6bb84ed30c87a7015873cc74526bf.
## 4 chains, each with iter=1000; warmup=500; thin=1;
## post-warmup draws per chain=500, total post-warmup draws=2000.
##
## mean se_mean sd 10% 50% 90% n_eff Rhat
## beta[1] 154.60 0.01 0.29 154.23 154.59 154.96 1841 1
## beta[2] 0.90 0.00 0.04 0.85 0.90 0.96 372 1
## sigma 5.11 0.01 0.20 4.87 5.10 5.37 1438 1
## lp__ -749.13 0.05 1.33 -750.77 -748.77 -747.87 600 1
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Fri Nov 22 17:49:21 2019.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).
Another possibility for \(\beta_{2}\) prior: \[\beta_{2} \sim \, \text{LogNormal}(0,10)\].
data { // observed variables
int<lower=1> N; // number of observations
vector[N] height; // response variables
vector[N] weight; // predictor (previously centered)
}
parameters { // unobserved variables
real beta[2]; // parameters: intercept and slopes
real sigma;
}
model {
height ~ normal(beta[1] + beta[2]*weight ,sigma); // likelihood
beta[1] ~ normal(178, 100); // prior of the intercept
beta[2] ~ lognormal(0, 1); // prior of the slope
sigma ~ uniform(0,50);
}
fit.m3.2 <- sampling(m3.2, data = m3.data, iter = 1000, chains = 4, cores = 4)
## Warning: There were 187 divergent transitions after warmup. Increasing adapt_delta above 0.8 may help. See
## http://mc-stan.org/misc/warnings.html#divergent-transitions-after-warmup
## Warning: There were 2 chains where the estimated Bayesian Fraction of Missing Information was low. See
## http://mc-stan.org/misc/warnings.html#bfmi-low
## Warning: Examine the pairs() plot to diagnose sampling problems
print(fit.m3.2, probs = c(0.10, 0.5, 0.9))
## Inference for Stan model: 76e2c520e9a282812337c63011f1f5e3.
## 4 chains, each with iter=1000; warmup=500; thin=1;
## post-warmup draws per chain=500, total post-warmup draws=2000.
##
## mean se_mean sd 10% 50% 90% n_eff Rhat
## beta[1] 153.38 1.49 10.27 153.99 154.59 155.09 48 1.06
## beta[2] 0.90 0.00 0.11 0.82 0.90 0.98 978 1.00
## sigma 9.82 3.22 9.68 4.94 5.21 15.10 9 1.36
## lp__ -844.87 66.89 193.61 -975.39 -749.26 -747.81 8 1.36
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Fri Nov 22 17:50:06 2019.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).
vectorized with target +=
data { // observed variables
int<lower=1> N; // number of observations
vector[N] height; // response variables
vector[N] weight; // predictor (previously centered)
}
parameters { // unobserved variables
real beta[2]; // parameters: intercept and slopes
real sigma;
}
model {
target += normal_lpdf(height | beta[1] + beta[2]*weight, sigma); // likelihood
target += normal_lpdf(beta[1] | 178, 20); // prior of the intercept
target += lognormal_lpdf(beta[2] |0, 1); // prior of the slope
target += uniform_lpdf(sigma|0,50);
}
fit.m3.3 <- sampling(m3.3, data = m3.data, iter = 1000, chains = 4, cores = 4)
## Warning: There were 123 divergent transitions after warmup. Increasing adapt_delta above 0.8 may help. See
## http://mc-stan.org/misc/warnings.html#divergent-transitions-after-warmup
## Warning: There were 1 chains where the estimated Bayesian Fraction of Missing Information was low. See
## http://mc-stan.org/misc/warnings.html#bfmi-low
## Warning: Examine the pairs() plot to diagnose sampling problems
print(fit.m3.3, probs = c(0.10, 0.5, 0.9))
## Inference for Stan model: c0bd04f9d695ff94776043871bd4d625.
## 4 chains, each with iter=1000; warmup=500; thin=1;
## post-warmup draws per chain=500, total post-warmup draws=2000.
##
## mean se_mean sd 10% 50% 90% n_eff Rhat
## beta[1] 154.60 0.02 0.67 154.00 154.60 155.17 1102 1.00
## beta[2] 0.89 0.01 0.09 0.79 0.89 0.97 164 1.06
## sigma 9.47 5.34 7.62 4.90 5.19 22.09 2 8.04
## lp__ -1170.98 109.09 154.85 -1433.29 -1082.10 -1080.69 2 13.21
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Fri Nov 22 17:50:52 2019.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).
Let’s simulate the prior predictive distribution (simulate heights from the model, using only the priors).
See Chapter 4 of Statistical Rethinking.
set.seed(2971)
N <- 100 # 100 lines
a <- rnorm( N , 178 , 20 )
b1 <- rnorm( N , 0 , 10 )
b2 <- rlnorm( N, 0 , 1 )
dens(rnorm( 1e4, 0 , 10 ),main="b ~ dnorm(0,10)")
dens(rlnorm( 1e4 , 0 , 1 ),main="log(b) ~ dnorm(0,1)")
p <- plot( NULL , xlim=range(howell2$weight) , ylim=c(-100,400) ,xlab="weight" , ylab="height")
abline(h=0,lty=2)
abline( h=272 , lty=1 , lwd=0.5 )
mtext( "b ~ dnorm(0,10)" )
xbar <- mean(howell2$weight)
for ( i in 1:N ) curve( a[i] + b1[i]*(x - xbar) ,
from=min(howell2$weight) , to=max(howell2$weight) , add=TRUE ,
col=col.alpha("black",0.2) )
McElreath: “For reference, I’ve added a dashed line at zero—no one is shorter than zero—and the “Wadlow” line at 272cm for the world’s tallest person. The pattern doesn’t look like any human population at all. It essentially says that the relationship between weight and height could be absurdly positive or negative. Before we’ve even seen the data, this is a bad model."
plot( NULL , xlim=range(howell2$weight) , ylim=c(-100,400) ,xlab="weight" , ylab="height")
abline(h=0,lty=2)
abline( h=272 , lty=1 , lwd=0.5 )
mtext( "log(b) ~ dnorm(0,1)" )
xbar <- mean(howell2$weight)
for ( i in 1:N ) curve( a[i] + b2[i]*(x - xbar) ,
from=min(howell2$weight) , to=max(howell2$weight) , add=TRUE ,
col=col.alpha("black",0.2) )
McElreath: “This is much more sensible. There is still a rare impossible relationship. But nearly all lines in the joint prior for \(\beta_{1}\) and \(\beta_{2}\) are now within human reason. We’re fussing about this prior, even though as you’ll see in the next section there is so much data in this example that the priors end up not mattering. We fuss for two reasons. First, there are many analyses in which no amount of data makes the prior irrelevant. In such cases, non-Bayesian procedures are no better off. They also depend upon structural features of the model. Paying careful attention to those features is essential. Second, thinking about the priors helps us develop better models, maybe even eventually going beyond geocentrism.”
Help to choose your prior with Stan: https://github.com/stan-dev/stan/wiki/Prior-Choice-Recommendations
https://github.com/stan-dev/stan/wiki/Stan-Best-Practices
“The best generic diagnostic for the accuracy of a Markov chain Monte Carlo algorithm is the split R-hat statistic which quantifies the consistency of an ensemble of Markov chains. The idea is to run multiple Markov chains, 4 is an okay default but running more makes the diagnostic more sensitive, and ensure that they’re all exploring the same regions of parameter space. If even one chain is inconsistent with the others then all of the chains are suspect! In practice we have found that requiring Rhat < 1.1 is a good default requirement for each parameter.”
rhats <- rhat(fit.m3.2)
print(rhats)
## beta[1] beta[2] sigma lp__
## 1.0578017 0.9999526 1.3590584 1.3611599
mcmc_rhat(rhats) + yaxis_text(hjust = 1)
“Another potential problem to keep in mind is Markov chains that explore very slowly. Slow chains lead to low numbers of effective samples, and if there are too few effective samples then we can’t accurate estimate the number of effective samples at all. A good check for such issues is the number of effective samples per iteration – if N_eff / N < 0.001 then you should be suspect of the effective sample size calculation.”
ratios <- neff_ratio(fit.m3.2)
print(ratios)
## beta[1] beta[2] sigma lp__
## 0.023845504 0.488859828 0.004527409 0.004189118
mcmc_neff(ratios, size = 2)
We need:
# The posterior draws
posterior <- as.array(fit.m3.2)
# The log of the posterior density for each draw
lp <- log_posterior(fit.m3.2)
head(lp)
## Iteration Value Chain
## 1 1 -748.2942 1
## 2 2 -748.4240 1
## 3 3 -747.9331 1
## 4 4 -747.7890 1
## 5 5 -748.0312 1
## 6 6 -751.1590 1
# Some NUTS-specific diagnostic values
np <- nuts_params(fit.m3.2)
head(np)
## Iteration Parameter Value Chain
## 1 1 accept_stat__ 0.5872795 1
## 2 2 accept_stat__ 0.9966800 1
## 3 3 accept_stat__ 0.9712667 1
## 4 4 accept_stat__ 0.9852274 1
## 5 5 accept_stat__ 0.9135522 1
## 6 6 accept_stat__ 0.7162124 1
https://mc-stan.org/bayesplot/articles/visual-mcmc-diagnostics.html
mcmc_parcoord(posterior, np = np,pars=c("beta[1]","beta[2]","sigma"))
Pairs plots:
mcmc_pairs(posterior, np = np, pars = c("beta[1]","beta[2]","sigma"), off_diag_args = list(size = 0.75))
Trace plots:
mcmc_trace(posterior, pars = "beta[2]", np = np) + xlab("Post-warmup iteration")
https://mc-stan.org/docs/2_18/stan-users-guide/prediction-forecasting-and-backcasting.html
m4.data <- list(N = nrow(howell2), height = howell2$height, weight = howell2$weight.c)
data { // observed variables
int<lower=1> N; // number of observations
vector[N] height; // response variables
vector[N] weight; // predictor (previously centered)
}
parameters { // unobserved variables
real beta[2]; // parameters: intercept and slope
real sigma;
}
model {
height ~ normal(beta[1] + beta[2]*weight ,sigma); // likelihood
beta[1] ~ normal(178, 100); // prior of the intercept
beta[2] ~ lognormal(0, 1); // prior of the slope
sigma ~ uniform(0,50);
}
generated quantities {
vector[N] y_rep;
for(i in 1:N)
y_rep[i] = normal_rng(beta[1] + beta[2]*weight[i], sigma);
}
fit.m4 <- sampling(m4, data = m4.data, iter = 1000, chains = 4, cores = 4)
y_rep <- as.matrix(fit.m4, pars = "y_rep")
dim(y_rep)
## [1] 2000 352
ppc_dens_overlay(howell2$height, y_rep)
plot_grid(ppc_stat(y = howell2$height, yrep = y_rep, stat = "mean"),
ppc_scatter_avg(y = howell2$height, yrep = y_rep))
See section 4.4 of Statistical rethinking
Model with non-centered weight:
m3.1.bis.data <- list(N = nrow(howell2), height = howell2$height, weight = howell2$weight)
data { // observed variables
int<lower=1> N; // number of observations
vector[N] height; // response variables
vector[N] weight; // predictor (previously centered)
}
parameters { // unobserved variables
real beta[2]; // parameters: intercept and slopes
real sigma;
}
model {
height ~ normal(beta[1] + beta[2]*weight ,sigma); // likelihood
beta[1] ~ normal(178, 100); // prior of the intercept
beta[2] ~ normal(0, 10); // prior of the slope
sigma ~ uniform(0,50);
}
fit.m3.1.bis <- sampling(m3.1.bis, data = m3.1.bis.data, iter = 1000, chains = 4, cores = 4)
print(fit.m3.1.bis, probs = c(0.10, 0.5, 0.9))
## Inference for Stan model: dca6bb84ed30c87a7015873cc74526bf.
## 4 chains, each with iter=1000; warmup=500; thin=1;
## post-warmup draws per chain=500, total post-warmup draws=2000.
##
## mean se_mean sd 10% 50% 90% n_eff Rhat
## beta[1] 113.95 0.09 2.08 111.29 113.92 116.54 517 1
## beta[2] 0.90 0.00 0.05 0.85 0.90 0.96 527 1
## sigma 5.10 0.01 0.20 4.86 5.10 5.35 844 1
## lp__ -749.35 0.05 1.31 -751.13 -749.01 -748.05 578 1
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Fri Nov 22 17:52:33 2019.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).
Figure 4.7. of Statistical rethinking
post <- as.data.frame(fit.m3.1.bis)
f_mu <- function(x) post$`beta[1]` + post$`beta[2]` * x
weight_new <- seq(25, 70)
mu <-
sapply(weight_new, f_mu) %>%
tibble::as_tibble() %>%
rename_all(function(x) weight_new) %>%
mutate(Iter = row_number()) %>%
gather(weight, height, -Iter) %>%
group_by(weight) %>%
mutate(hpdi_l = HDInterval::hdi(height, credMass = 0.89)[1],
hpdi_h = HDInterval::hdi(height, credMass = 0.89)[2]) %>%
mutate(mu = mean(height)) %>%
ungroup() %>%
mutate(weight = as.integer(weight))
p <- ggplot()
p1 <- p +
geom_point(data = mu %>% filter(Iter < 101),
aes(weight, height), alpha = .05, color = 'dodgerblue') +
labs(subtitle="Density at each weight")
p2 <- p +
geom_point(data = howell2,
aes(weight, height), shape = 1, color = 'dodgerblue') +
geom_ribbon(data = mu,
aes(x = weight, ymin = hpdi_l, ymax = hpdi_h),
alpha = .2) +
geom_abline(data = post,
aes(intercept = mean(`beta[1]`), slope = mean(`beta[2]`))) +
labs(subtitle="HPDI Interval = 0.89")
grid.arrange(p1, p2, nrow = 1)
“Left: The first 100 values in the distribution of \(\beta_{1}\) (intercept) at each weight value. Right: The !Kung height data again, now with 89% HPDI of the mean indicated by the shaded region. Compare this region to the distributions of blue points on the left.”
Figure 4.8. of Statistical rethinking
Incorporating the uncertainty related to the standard deviation \(\sigma^{2}\).
sim_ht <-
sapply(weight_new,
function(x)
rnorm(NROW(post),
post$`beta[1]` + post$`beta[2]` * x,
post$sigma)) %>%
as_tibble() %>%
rename_all(function(x) weight_new) %>%
mutate(Iter = row_number()) %>%
gather(weight, height, -Iter) %>%
group_by(weight) %>%
mutate(pi_l = rethinking::PI(height, prob = 0.89)[1],
pi_h = rethinking::PI(height, prob = 0.89)[2]) %>%
ungroup() %>%
mutate(weight = as.integer(weight))
p2 + geom_ribbon(data = sim_ht,
mapping = aes(x=weight, ymin=pi_l, ymax=pi_h), alpha = .1) +
labs(subtitle = 'Prediction Intervals = 0.89')
“Figure 4.8. 89% prediction interval for height, as a function of weight. The solid line is the MAP estimate of the mean height at each weight. The two shaded regions show different 89% plausible regions. The narrow shaded interval around the line is the distribution of \(\beta_{1}\) (intercept) . The wider shaded region represents the region within which the model expects to find 89% of actual heights in the population, at each weight.”"
Individual sex is a categorical variable with value 0 whenever the person is a female and a value 1 whenever the person is a male.
ggplot(howell2, aes(x=as.factor(male), y=height, color=as.factor(male))) +
geom_boxplot() + scale_x_discrete(labels=c("0" = "Female", "1" = "Male")) +
theme(axis.title.x=element_blank(),legend.position = "none")
There are two ways to include binary categorical variables, either using indicator variable or index variable. More details in section 5.3.1 of Statistical rethinking (McElreath’s book).
Using indicator variables is ok with binary variables, but shouldn’t be used for variables with many categories (see 5.3.2 section of Statistical rethiking).
Model equation (like in McElreath’s book):
\[\begin{align*} h_{i} &\sim \mathcal{N}(\mu_{i} \, , \, \sigma^2) \\[4pt] \mu_{i} &= \alpha + \beta_{m} m_{i}\\[4pt] \alpha &\sim \mathcal{N}(178,20)\\[4pt] \beta_{m} &\sim \mathcal{N}(0,10)\\[4pt] \sigma &\sim \mathcal{U}(0,50)\\[4pt] \end{align*}\]
In R, we can convert our categorical variable in a dummy variable like this:
X <- model.matrix(~male, howell2)
m5.1.data <- list(N = nrow(howell2), height = howell2$height, X = X, n = length(unique(howell2$male)))
str(m5.1.data)
## List of 4
## $ N : int 352
## $ height: num [1:352] 152 140 137 157 145 ...
## $ X : num [1:352, 1:2] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
## ..- attr(*, "dimnames")=List of 2
## .. ..$ : chr [1:352] "1" "2" "3" "4" ...
## .. ..$ : chr [1:2] "(Intercept)" "male"
## ..- attr(*, "assign")= int [1:2] 0 1
## $ n : int 2
data {
int<lower=0> N; // number of observations
int<lower=0> n; // number of levels of the categorical variable
vector[N] height; // response variables
matrix[N,n] X; // categorical variable
}
parameters {
vector[n] beta; // intercepts of the categorical variable
real sigma;
}
transformed parameters {
vector[N] mu;
mu = X*beta;
}
model {
height ~ normal(mu ,sigma); // likelihood
sigma ~ uniform(0,50);
beta[1] ~ normal(178,20);
beta[2] ~ normal(0,10);
}
generated quantities {
vector[N] y_rep;
for(i in 1:N)
y_rep[i] = normal_rng(mu[i], sigma);
}
fit.m5_1_1 <- sampling(m5.1.1, data = m5.1.data, iter = 1000, chains = 4, cores = 4)
print(fit.m5_1_1, probs = c(0.10, 0.5, 0.9))
## Inference for Stan model: a89cc41ee4ed1022b476f4484ab5720d.
## 4 chains, each with iter=1000; warmup=500; thin=1;
## post-warmup draws per chain=500, total post-warmup draws=2000.
##
## mean se_mean sd 10% 50% 90% n_eff Rhat
## beta[1] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## beta[2] 10.82 0.03 0.53 10.15 10.82 11.51 392 1.01
## sigma 5.55 0.00 0.21 5.27 5.54 5.82 2099 1.00
## mu[1] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[2] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[3] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[4] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[5] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[6] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[7] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[8] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[9] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[10] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[11] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[12] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[13] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[14] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[15] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[16] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[17] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[18] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[19] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[20] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[21] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[22] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[23] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[24] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[25] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[26] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[27] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[28] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[29] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[30] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[31] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[32] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[33] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[34] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[35] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[36] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[37] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[38] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[39] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[40] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[41] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[42] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[43] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[44] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[45] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[46] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[47] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[48] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[49] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[50] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[51] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[52] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[53] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[54] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[55] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[56] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[57] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[58] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[59] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[60] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[61] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[62] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[63] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[64] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[65] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[66] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[67] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[68] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[69] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[70] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[71] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[72] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[73] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[74] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[75] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[76] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[77] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[78] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[79] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[80] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[81] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[82] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[83] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
## mu[84] 160.35 0.01 0.39 159.86 160.35 160.86 777 1.00
## mu[85] 149.53 0.02 0.38 149.05 149.53 150.02 594 1.01
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## y_rep[293] 160.59 0.13 5.69 153.08 160.47 167.96 2011 1.00
## y_rep[294] 149.71 0.12 5.60 142.72 149.71 156.96 2016 1.00
## y_rep[295] 160.32 0.12 5.44 153.07 160.53 167.14 2000 1.00
## y_rep[296] 149.40 0.12 5.50 142.47 149.23 156.62 1977 1.00
## y_rep[297] 149.47 0.14 5.69 142.15 149.43 156.77 1610 1.00
## y_rep[298] 149.32 0.13 5.54 142.13 149.31 156.40 1940 1.00
## y_rep[299] 160.51 0.13 5.55 153.43 160.38 167.76 1947 1.00
## y_rep[300] 160.55 0.14 5.60 153.52 160.48 167.86 1668 1.00
## y_rep[301] 149.61 0.12 5.56 142.26 149.67 156.70 2029 1.00
## y_rep[302] 160.17 0.13 5.47 153.12 160.24 166.92 1840 1.00
## y_rep[303] 149.41 0.13 5.58 142.03 149.36 156.43 1843 1.00
## y_rep[304] 160.36 0.14 5.71 153.03 160.38 167.56 1740 1.00
## y_rep[305] 160.38 0.12 5.54 153.28 160.24 167.62 2050 1.00
## y_rep[306] 160.34 0.13 5.64 153.21 160.32 167.48 1756 1.00
## y_rep[307] 160.45 0.12 5.56 153.53 160.39 167.53 2170 1.00
## y_rep[308] 149.52 0.14 5.74 142.28 149.56 156.84 1749 1.00
## y_rep[309] 149.50 0.12 5.55 142.54 149.53 156.76 2010 1.00
## y_rep[310] 149.49 0.13 5.46 142.69 149.34 156.68 1829 1.00
## y_rep[311] 149.34 0.14 5.68 142.31 149.42 156.69 1605 1.00
## y_rep[312] 149.56 0.12 5.55 142.23 149.51 156.67 1973 1.00
## y_rep[313] 160.48 0.12 5.51 153.61 160.38 167.53 2170 1.00
## y_rep[314] 149.48 0.13 5.60 142.41 149.49 156.60 1998 1.00
## y_rep[315] 160.33 0.13 5.60 153.17 160.37 167.50 1894 1.00
## y_rep[316] 149.41 0.12 5.70 141.95 149.32 156.75 2094 1.00
## y_rep[317] 160.37 0.13 5.59 153.06 160.38 167.56 1912 1.00
## y_rep[318] 149.39 0.13 5.63 142.22 149.33 156.74 1825 1.00
## y_rep[319] 160.20 0.13 5.62 152.97 160.12 167.49 1804 1.00
## y_rep[320] 149.46 0.13 5.52 142.31 149.49 156.43 1903 1.00
## y_rep[321] 160.49 0.13 5.54 153.53 160.55 167.43 1864 1.00
## y_rep[322] 149.57 0.12 5.36 142.64 149.67 156.22 1924 1.00
## y_rep[323] 160.36 0.14 5.49 153.29 160.31 167.21 1588 1.00
## y_rep[324] 160.47 0.13 5.50 153.55 160.42 167.56 1913 1.00
## y_rep[325] 149.64 0.13 5.70 142.34 149.67 156.87 1791 1.00
## y_rep[326] 149.77 0.13 5.66 142.21 149.92 156.84 1962 1.00
## y_rep[327] 149.62 0.12 5.58 142.37 149.59 156.87 2166 1.00
## y_rep[328] 160.12 0.13 5.51 152.99 160.14 167.20 1726 1.00
## y_rep[329] 160.36 0.13 5.64 152.95 160.33 167.58 1900 1.00
## y_rep[330] 160.36 0.13 5.75 153.05 160.40 167.93 1990 1.00
## y_rep[331] 160.25 0.13 5.61 153.09 160.29 167.46 2002 1.00
## y_rep[332] 160.25 0.13 5.60 153.09 160.12 167.59 1866 1.00
## y_rep[333] 149.43 0.13 5.70 142.21 149.44 156.79 1879 1.00
## y_rep[334] 160.49 0.12 5.40 153.50 160.42 167.53 1961 1.00
## y_rep[335] 149.63 0.12 5.55 142.45 149.63 156.66 1986 1.00
## y_rep[336] 160.41 0.13 5.52 153.38 160.38 167.52 1864 1.00
## y_rep[337] 149.65 0.13 5.68 142.41 149.60 156.95 2048 1.00
## y_rep[338] 149.20 0.13 5.59 141.71 149.24 156.50 1924 1.00
## y_rep[339] 149.55 0.13 5.65 142.58 149.53 156.68 1801 1.00
## y_rep[340] 149.57 0.12 5.48 142.57 149.53 156.55 2013 1.00
## y_rep[341] 149.49 0.12 5.52 142.34 149.55 156.62 2019 1.00
## y_rep[342] 160.27 0.13 5.52 153.30 160.25 167.38 1797 1.00
## y_rep[343] 149.34 0.13 5.63 142.14 149.36 156.30 1954 1.00
## y_rep[344] 160.33 0.13 5.66 153.21 160.32 167.54 1867 1.00
## y_rep[345] 149.74 0.12 5.42 142.98 149.62 156.83 1979 1.00
## y_rep[346] 160.32 0.12 5.45 153.19 160.32 167.21 1908 1.00
## y_rep[347] 149.46 0.14 5.59 142.19 149.45 156.86 1649 1.00
## y_rep[348] 149.65 0.13 5.57 142.42 149.61 156.93 1861 1.00
## y_rep[349] 149.47 0.13 5.56 142.43 149.46 156.60 1978 1.00
## y_rep[350] 160.22 0.14 5.45 153.38 160.09 167.26 1589 1.00
## y_rep[351] 149.60 0.12 5.45 142.44 149.57 156.65 1914 1.00
## y_rep[352] 160.49 0.13 5.56 153.09 160.68 167.30 1937 1.00
## lp__ -780.37 0.04 1.11 -781.84 -780.08 -779.27 673 1.00
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Fri Nov 22 17:53:34 2019.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).
summary(lm(height~as.factor(male),data=howell2))
##
## Call:
## lm(formula = height ~ as.factor(male), data = howell2)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -20.6585 -3.4635 0.2965 3.4715 18.7115
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 149.5135 0.4049 369.25 <2e-16 ***
## as.factor(male)1 10.8450 0.5914 18.34 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 5.537 on 350 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.49, Adjusted R-squared: 0.4885
## F-statistic: 336.3 on 1 and 350 DF, p-value: < 2.2e-16
Convergence diagnostics
posterior <- as.array(fit.m5_1_1) # posterior draws
lp <- log_posterior(fit.m5_1_1) # log of the posterior density for each draw
np <- nuts_params(fit.m5_1_1) # Some NUTS-specific diagnostic values
mcmc_parcoord(posterior, np = np,pars=c("beta[1]","beta[2]","sigma"))
mcmc_pairs(posterior, np = np, pars = c("beta[1]","beta[2]","sigma"), off_diag_args = list(size = 0.75)) # Pairs plots
mcmc_trace(posterior, pars = c("beta[1]","beta[2]","sigma"), np = np) + xlab("Post-warmup iteration") # Trace plots
## No divergences to plot.
Same outputs with another prior for sigma: \(\sigma \sim \, {\rm Cauchy} (0,5)\)
data {
int<lower=0> N; // number of observations
int<lower=0> n; // number of levels of the categorical variable
vector[N] height; // response variables
matrix[N,n] X; // categorical variable
}
parameters {
vector[n] beta; // intercepts of the categorical variable
real sigma;
}
transformed parameters {
vector[N] mu;
mu = X*beta;
}
model {
height ~ normal(mu ,sigma); // likelihood
sigma ~ cauchy(0,5);
beta[1] ~ normal(178,20);
beta[2] ~ normal(0,10);
// beta ~ normal(0,1000)
}
generated quantities {
vector[N] y_rep;
for(i in 1:N)
y_rep[i] = normal_rng(mu[i], sigma);
}
fit.m5_1_2 <- sampling(m5.1.2, data = m5.1.data, iter = 1000, chains = 4, cores = 4)
print(fit.m5_1_2, probs = c(0.10, 0.5, 0.9))
## Inference for Stan model: 4c192013905ef0bcb3999ba4bc93cd6e.
## 4 chains, each with iter=1000; warmup=500; thin=1;
## post-warmup draws per chain=500, total post-warmup draws=2000.
##
## mean se_mean sd 10% 50% 90% n_eff Rhat
## beta[1] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## beta[2] 10.78 0.02 0.60 10.03 10.77 11.54 1292 1
## sigma 5.54 0.01 0.21 5.26 5.53 5.81 1498 1
## mu[1] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[2] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[3] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[4] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[5] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[6] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[7] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[8] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[9] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[10] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[11] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[12] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[13] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[14] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[15] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[16] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[17] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[18] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[19] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[20] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[21] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[22] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[23] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[24] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[25] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[26] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[27] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[28] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[29] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[30] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[31] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[32] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[33] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[34] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[35] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[36] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[37] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[38] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[39] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[40] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[41] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[42] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[43] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[44] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[45] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[46] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[47] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[48] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[49] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[50] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[51] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[52] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[53] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[54] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[55] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[56] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[57] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[58] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[59] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[60] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
## mu[61] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[62] 149.55 0.01 0.41 149.03 149.55 150.05 1204 1
## mu[63] 160.33 0.01 0.40 159.83 160.33 160.84 2237 1
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## y_rep[298] 149.45 0.12 5.39 142.58 149.50 156.19 1922 1
## y_rep[299] 160.47 0.12 5.39 153.55 160.51 167.65 1958 1
## y_rep[300] 160.41 0.13 5.58 153.38 160.50 167.84 1740 1
## y_rep[301] 149.82 0.13 5.47 142.74 149.83 156.87 1894 1
## y_rep[302] 160.24 0.12 5.56 153.26 160.13 167.07 2182 1
## y_rep[303] 149.55 0.13 5.45 142.61 149.57 156.55 1851 1
## y_rep[304] 160.29 0.12 5.45 153.15 160.21 167.45 2010 1
## y_rep[305] 160.21 0.13 5.52 153.27 160.16 167.29 1839 1
## y_rep[306] 160.32 0.13 5.65 153.18 160.33 167.41 1844 1
## y_rep[307] 160.20 0.13 5.60 152.97 160.07 167.37 1818 1
## y_rep[308] 149.65 0.13 5.64 142.54 149.64 156.78 1946 1
## y_rep[309] 149.40 0.12 5.57 142.64 149.32 156.52 2113 1
## y_rep[310] 149.55 0.13 5.55 142.37 149.71 156.27 1957 1
## y_rep[311] 149.41 0.12 5.60 142.45 149.35 156.54 2020 1
## y_rep[312] 149.46 0.13 5.44 142.40 149.53 156.34 1735 1
## y_rep[313] 160.40 0.12 5.63 153.30 160.41 167.79 2254 1
## y_rep[314] 149.60 0.13 5.53 142.61 149.69 156.48 1899 1
## y_rep[315] 160.52 0.13 5.63 153.17 160.56 167.96 2024 1
## y_rep[316] 149.59 0.13 5.64 142.56 149.63 156.76 2003 1
## y_rep[317] 160.40 0.12 5.52 153.35 160.45 167.52 2013 1
## y_rep[318] 149.61 0.12 5.58 142.60 149.51 156.79 2008 1
## y_rep[319] 160.32 0.12 5.64 153.10 160.21 167.60 2178 1
## y_rep[320] 149.61 0.13 5.54 142.50 149.74 156.49 1959 1
## y_rep[321] 160.25 0.14 5.62 153.08 160.29 167.35 1508 1
## y_rep[322] 149.35 0.12 5.54 142.38 149.41 156.50 2120 1
## y_rep[323] 160.34 0.12 5.45 152.85 160.42 167.21 2009 1
## y_rep[324] 160.37 0.12 5.49 153.38 160.39 167.46 1998 1
## y_rep[325] 149.54 0.13 5.67 142.30 149.45 156.93 1950 1
## y_rep[326] 149.47 0.12 5.52 142.38 149.44 156.36 2017 1
## y_rep[327] 149.69 0.12 5.47 142.78 149.73 156.69 1958 1
## y_rep[328] 160.40 0.13 5.63 153.06 160.48 167.50 1846 1
## y_rep[329] 160.36 0.13 5.70 153.02 160.47 167.55 1927 1
## y_rep[330] 160.25 0.14 5.68 153.12 160.30 167.67 1748 1
## y_rep[331] 160.17 0.12 5.52 152.98 160.16 166.99 2115 1
## y_rep[332] 159.95 0.13 5.49 152.56 159.98 166.96 1878 1
## y_rep[333] 149.59 0.12 5.52 142.73 149.51 156.59 1995 1
## y_rep[334] 160.47 0.12 5.54 153.34 160.58 167.28 2027 1
## y_rep[335] 149.45 0.13 5.75 141.82 149.49 156.96 1962 1
## y_rep[336] 160.15 0.12 5.49 153.06 160.19 167.13 2158 1
## y_rep[337] 149.50 0.13 5.64 142.01 149.63 156.61 1944 1
## y_rep[338] 149.55 0.12 5.60 142.19 149.50 156.61 2034 1
## y_rep[339] 149.53 0.12 5.69 142.30 149.49 156.83 2216 1
## y_rep[340] 149.38 0.13 5.70 142.14 149.38 156.77 1841 1
## y_rep[341] 149.58 0.12 5.49 142.73 149.64 156.64 2087 1
## y_rep[342] 160.07 0.13 5.62 152.81 160.10 167.15 1908 1
## y_rep[343] 149.35 0.13 5.51 142.24 149.37 156.32 1792 1
## y_rep[344] 160.18 0.12 5.66 152.80 160.15 167.24 2055 1
## y_rep[345] 149.43 0.14 5.70 142.28 149.35 156.56 1765 1
## y_rep[346] 160.48 0.13 5.67 153.31 160.50 167.72 1953 1
## y_rep[347] 149.67 0.13 5.53 142.60 149.71 156.75 1760 1
## y_rep[348] 149.65 0.13 5.56 142.51 149.82 156.58 1889 1
## y_rep[349] 149.43 0.12 5.56 142.53 149.33 156.46 2048 1
## y_rep[350] 160.38 0.12 5.50 153.43 160.34 167.51 1992 1
## y_rep[351] 149.44 0.13 5.50 142.36 149.40 156.42 1848 1
## y_rep[352] 160.34 0.13 5.49 153.33 160.26 167.39 1849 1
## lp__ -781.30 0.04 1.19 -782.90 -780.98 -780.12 743 1
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Fri Nov 22 17:54:46 2019.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).
Here we consider the variable male as an index variable, with value 1 whenever the person is a female and a value 2 whenever the person is a male.
howell2$male.index <- ifelse(howell2$male==1,2,1)
m5.2.data <- list(N = nrow(howell2), height = howell2$height, male = as.integer(howell2$male.index), n = length(unique(howell2$male.index)))
str(m5.2.data)
## List of 4
## $ N : int 352
## $ height: num [1:352] 152 140 137 157 145 ...
## $ male : int [1:352] 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 ...
## $ n : int 2
Model equation:
\[\begin{align*} h_{i} &\sim \mathcal{N}(\mu_{i} \, , \, \sigma^2) \\[4pt] \mu_{i} &= \alpha_{\text{SEX}[\textit{i}]}\\[4pt] \alpha_{j} &\sim \mathcal{N}(178,20) \quad \text{, for} \, j = 1..2\\[4pt] \sigma^2 &\sim \mathcal{U}(0,5)\\[4pt] \end{align*}\]
data {
int<lower=0> N; // number of observations
int<lower=0> n; // number of levels of the categorical variable
vector[N] height; // response variables
int<lower=1,upper=n> male[N]; // categorical variable
}
parameters {
vector[n] beta; // real beta[n]; (idem) // intercepts of the categorical variable
real sigma;
}
transformed parameters {
vector[N] mu; // create one variable with predictions for each obs
for (i in 1:N) // loop for all cases
mu[i] = beta[male[i]];
}
model {
height ~ normal(mu ,sigma); // likelihood
sigma ~ cauchy(0,5);
}
generated quantities {
vector[N] y_rep;
for(i in 1:N)
y_rep[i] = normal_rng(mu[i], sigma);
}
fit.m5_2 <- sampling(m5.2, data = m5.2.data, iter = 1000, chains = 4, cores = 4)
print(fit.m5_2, probs = c(0.10, 0.5, 0.9))
## Inference for Stan model: 0da8a26b283bfab1846d7d15060893cd.
## 4 chains, each with iter=1000; warmup=500; thin=1;
## post-warmup draws per chain=500, total post-warmup draws=2000.
##
## mean se_mean sd 10% 50% 90% n_eff Rhat
## beta[1] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## beta[2] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## sigma 5.55 0.00 0.20 5.29 5.54 5.81 1800 1
## mu[1] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[2] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[3] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[4] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[5] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[6] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[7] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[8] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[9] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[10] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[11] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[12] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[13] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[14] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[15] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[16] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[17] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[18] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[19] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[20] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[21] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[22] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[23] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[24] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[25] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[26] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[27] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[28] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[29] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[30] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[31] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[32] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[33] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[34] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[35] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[36] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[37] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[38] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[39] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[40] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[41] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[42] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[43] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[44] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[45] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[46] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[47] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[48] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[49] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[50] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[51] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[52] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[53] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[54] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[55] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[56] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[57] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[58] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[59] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[60] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[61] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[62] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[63] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[64] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[65] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[66] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[67] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[68] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[69] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[70] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
## mu[71] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[72] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[73] 160.36 0.01 0.46 159.77 160.37 160.93 1728 1
## mu[74] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
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## mu[76] 149.51 0.01 0.40 148.99 149.51 150.01 1825 1
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## y_rep[311] 149.53 0.12 5.56 142.42 149.45 156.47 1988 1
## y_rep[312] 149.63 0.13 5.54 142.52 149.81 156.71 1855 1
## y_rep[313] 160.21 0.13 5.75 152.92 160.21 167.53 1867 1
## y_rep[314] 149.35 0.13 5.68 142.20 149.21 156.68 1999 1
## y_rep[315] 160.39 0.13 5.59 153.10 160.53 167.42 1855 1
## y_rep[316] 149.46 0.13 5.60 142.28 149.44 156.72 1955 1
## y_rep[317] 160.16 0.13 5.65 152.94 160.28 167.41 1921 1
## y_rep[318] 149.50 0.12 5.52 142.35 149.57 156.52 2083 1
## y_rep[319] 160.42 0.12 5.49 153.46 160.38 167.48 1971 1
## y_rep[320] 149.31 0.12 5.50 142.36 149.13 156.48 2005 1
## y_rep[321] 160.22 0.13 5.62 152.85 160.26 167.41 1857 1
## y_rep[322] 149.47 0.12 5.52 142.43 149.34 156.51 2091 1
## y_rep[323] 160.29 0.13 5.49 153.15 160.40 167.34 1840 1
## y_rep[324] 160.34 0.12 5.50 153.15 160.48 167.47 2053 1
## y_rep[325] 149.51 0.13 5.59 142.48 149.47 156.81 1948 1
## y_rep[326] 149.52 0.12 5.51 142.55 149.65 156.69 1995 1
## y_rep[327] 149.50 0.13 5.55 142.55 149.49 156.84 1884 1
## y_rep[328] 160.37 0.13 5.63 153.41 160.33 167.69 1961 1
## y_rep[329] 160.45 0.12 5.52 153.62 160.39 167.48 1978 1
## y_rep[330] 160.32 0.13 5.61 152.98 160.34 167.47 1943 1
## y_rep[331] 160.38 0.14 5.44 153.47 160.42 167.39 1473 1
## y_rep[332] 160.31 0.12 5.46 153.34 160.28 167.57 1931 1
## y_rep[333] 149.63 0.12 5.58 142.58 149.62 157.08 2080 1
## y_rep[334] 160.36 0.12 5.56 153.30 160.47 167.45 2068 1
## y_rep[335] 149.22 0.12 5.40 142.23 149.29 156.14 2059 1
## y_rep[336] 160.44 0.13 5.65 153.19 160.58 167.63 1973 1
## y_rep[337] 149.66 0.13 5.55 142.51 149.66 156.78 1949 1
## y_rep[338] 149.67 0.12 5.45 142.57 149.69 156.63 2008 1
## y_rep[339] 149.48 0.13 5.55 142.54 149.44 156.51 1920 1
## y_rep[340] 149.66 0.12 5.55 142.53 149.67 156.77 2011 1
## y_rep[341] 149.60 0.13 5.78 142.29 149.72 157.03 1998 1
## y_rep[342] 160.21 0.13 5.80 152.93 160.10 167.57 1945 1
## y_rep[343] 149.41 0.13 5.62 142.23 149.38 156.62 1806 1
## y_rep[344] 160.48 0.15 5.52 153.63 160.54 167.53 1420 1
## y_rep[345] 149.53 0.12 5.58 142.48 149.56 156.87 2025 1
## y_rep[346] 160.51 0.13 5.54 153.46 160.61 167.40 1795 1
## y_rep[347] 149.42 0.13 5.71 142.19 149.44 156.65 1918 1
## y_rep[348] 149.28 0.12 5.49 142.45 149.21 156.35 2088 1
## y_rep[349] 149.49 0.13 5.54 142.26 149.50 156.54 1859 1
## y_rep[350] 160.26 0.13 5.45 153.43 160.16 167.38 1808 1
## y_rep[351] 149.37 0.12 5.44 142.29 149.27 156.38 1939 1
## y_rep[352] 160.39 0.13 5.71 153.01 160.50 167.76 1953 1
## lp__ -779.74 0.04 1.24 -781.47 -779.44 -778.50 1045 1
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Fri Nov 22 17:55:46 2019.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).
Corresponds to a frequentist model with the intercept fixed to zero:
summary(lm(height~as.factor(male)-1,data=howell2))
##
## Call:
## lm(formula = height ~ as.factor(male) - 1, data = howell2)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -20.6585 -3.4635 0.2965 3.4715 18.7115
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## as.factor(male)0 149.5135 0.4049 369.2 <2e-16 ***
## as.factor(male)1 160.3585 0.4311 372.0 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 5.537 on 350 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9987, Adjusted R-squared: 0.9987
## F-statistic: 1.374e+05 on 2 and 350 DF, p-value: < 2.2e-16
Even if you use a index variable (with values 1 or 2), you can also use the same notation as for dummy variables
X <- model.matrix(~male.index, howell2)
m5.2.bis.data <- list(N = nrow(howell2), height = howell2$height, X = X, n = length(unique(howell2$male.index)))
str(m5.2.bis.data)
## List of 4
## $ N : int 352
## $ height: num [1:352] 152 140 137 157 145 ...
## $ X : num [1:352, 1:2] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
## ..- attr(*, "dimnames")=List of 2
## .. ..$ : chr [1:352] "1" "2" "3" "4" ...
## .. ..$ : chr [1:2] "(Intercept)" "male.index"
## ..- attr(*, "assign")= int [1:2] 0 1
## $ n : int 2
data {
int<lower=0> N; // number of observations
int<lower=0> n; // number of levels of the categorical variable
vector[N] height; // response variables
matrix[N,n] X; // categorical variable
}
parameters {
vector[n] beta; // intercepts of the categorical variable
real sigma;
}
transformed parameters {
vector[N] mu;
mu = X*beta;
}
model {
height ~ normal(mu ,sigma); // likelihood
sigma ~ cauchy(0,5);
beta[1] ~ normal(178,20);
beta[2] ~ normal(0,10);
}
generated quantities {
vector[N] y_rep;
for(i in 1:N)
y_rep[i] = normal_rng(mu[i], sigma);
}
fit.m5_2_bis <- sampling(m5.2.bis, data = m5.2.bis.data, iter = 1000, chains = 4, cores = 4)
print(fit.m5_2_bis, probs = c(0.10, 0.5, 0.9))
## Inference for Stan model: ea1df6c828dbad449e9a4c6c6321058c.
## 4 chains, each with iter=1000; warmup=500; thin=1;
## post-warmup draws per chain=500, total post-warmup draws=2000.
##
## mean se_mean sd 10% 50% 90% n_eff Rhat
## beta[1] 138.80 0.03 0.90 137.61 138.82 139.97 724 1
## beta[2] 10.76 0.02 0.58 10.02 10.76 11.50 736 1
## sigma 5.57 0.01 0.21 5.30 5.55 5.84 942 1
## mu[1] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[2] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[3] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[4] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[5] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[6] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[7] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[8] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[9] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[10] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[11] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[12] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[13] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[14] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[15] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[16] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[17] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[18] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[19] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[20] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[21] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[22] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[23] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[24] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[25] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[26] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[27] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[28] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[29] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[30] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[31] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[32] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[33] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[34] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[35] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[36] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[37] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[38] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[39] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[40] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[41] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[42] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[43] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[44] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[45] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[46] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[47] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[48] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[49] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[50] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[51] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[52] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[53] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[54] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[55] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[56] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[57] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[58] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[59] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[60] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[61] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[62] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[63] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[64] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[65] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[66] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[67] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[68] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[69] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[70] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[71] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[72] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[73] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[74] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[75] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[76] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[77] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[78] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[79] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[80] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[81] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[82] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[83] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
## mu[84] 160.32 0.01 0.42 159.78 160.33 160.85 1327 1
## mu[85] 149.56 0.01 0.40 149.02 149.56 150.08 956 1
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## y_rep[322] 149.60 0.12 5.39 142.85 149.63 156.46 1977 1
## y_rep[323] 160.47 0.12 5.50 153.26 160.47 167.61 2197 1
## y_rep[324] 160.52 0.13 5.56 153.26 160.52 167.61 1939 1
## y_rep[325] 149.41 0.14 5.53 142.05 149.23 156.34 1655 1
## y_rep[326] 149.54 0.13 5.69 142.55 149.51 156.90 1889 1
## y_rep[327] 149.74 0.12 5.53 142.70 149.88 156.61 1969 1
## y_rep[328] 160.40 0.13 5.50 153.24 160.43 167.25 1859 1
## y_rep[329] 160.30 0.13 5.70 153.07 160.39 167.59 2049 1
## y_rep[330] 160.29 0.13 5.55 153.27 160.27 167.47 1847 1
## y_rep[331] 160.32 0.13 5.71 153.06 160.42 167.47 1971 1
## y_rep[332] 160.24 0.12 5.53 153.06 160.27 167.38 2120 1
## y_rep[333] 149.46 0.13 5.56 142.29 149.44 156.43 1903 1
## y_rep[334] 160.24 0.13 5.55 153.15 160.08 167.40 1884 1
## y_rep[335] 149.53 0.12 5.53 142.40 149.59 156.58 2095 1
## y_rep[336] 160.42 0.13 5.75 152.92 160.42 167.61 1865 1
## y_rep[337] 149.52 0.12 5.47 142.65 149.47 156.63 2130 1
## y_rep[338] 149.59 0.13 5.61 142.31 149.67 156.89 2017 1
## y_rep[339] 149.72 0.12 5.50 142.73 149.65 156.72 1985 1
## y_rep[340] 149.37 0.12 5.49 142.30 149.50 156.22 1932 1
## y_rep[341] 149.70 0.12 5.50 142.79 149.75 156.80 1946 1
## y_rep[342] 160.14 0.12 5.49 153.08 160.18 167.26 2038 1
## y_rep[343] 149.36 0.13 5.59 142.30 149.30 156.45 1909 1
## y_rep[344] 160.44 0.13 5.48 153.40 160.57 167.25 1847 1
## y_rep[345] 149.65 0.13 5.61 142.64 149.68 156.73 1826 1
## y_rep[346] 160.38 0.12 5.58 153.37 160.32 167.49 1996 1
## y_rep[347] 149.71 0.14 5.68 142.59 149.56 157.32 1692 1
## y_rep[348] 149.42 0.12 5.55 142.39 149.45 156.49 1994 1
## y_rep[349] 149.51 0.12 5.51 142.52 149.53 156.48 2011 1
## y_rep[350] 160.22 0.13 5.75 152.74 160.25 167.46 2093 1
## y_rep[351] 149.74 0.14 5.60 142.46 149.84 156.91 1513 1
## y_rep[352] 160.17 0.13 5.69 152.88 160.17 167.61 1844 1
## lp__ -782.21 0.04 1.17 -783.79 -781.92 -781.02 866 1
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Fri Nov 22 17:56:38 2019.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).
Standardizing the explanatory variable:
howell2 <- howell2 %>% mutate(weight.z = (weight - mean(weight)) / sd(weight))
Data in a list:
m6.data <- list(N = nrow(howell2), height = howell2$height, weight = howell2$weight.z)
data { // observed variables
int<lower=1> N; // number of observations
vector[N] height; // response variables
vector[N] weight; // predictor (previously centered)
}
parameters { // unobserved variables
real beta[3]; // parameters: intercept and slope
real sigma;
}
model {
height ~ normal(beta[1] + beta[2]*weight + beta[3]*(weight .* weight),sigma); // likelihood
beta[1] ~ normal(178, 100); // prior of the intercept
beta[2] ~ normal(0, 100); // prior of the slope
beta[3] ~ normal(0, 100);
sigma ~ uniform(0,50);
}
generated quantities {
vector[N] y_rep;
for(i in 1:N)
y_rep[i] = normal_rng(beta[1] + beta[2]*weight[i] + beta[3]*(weight[i] .* weight[i]), sigma);
}
fit.m6 <- sampling(m6, data = m6.data, iter = 1000, chains = 4, cores = 4)
print(fit.m6, probs = c(0.10, 0.5, 0.9))
## Inference for Stan model: c7fbeba14f23c52987bbbb1ee94a3a29.
## 4 chains, each with iter=1000; warmup=500; thin=1;
## post-warmup draws per chain=500, total post-warmup draws=2000.
##
## mean se_mean sd 10% 50% 90% n_eff Rhat
## beta[1] 154.61 0.01 0.36 154.15 154.61 155.07 1018 1.00
## beta[2] 5.85 0.01 0.27 5.51 5.86 6.20 799 1.00
## beta[3] -0.01 0.01 0.22 -0.29 -0.02 0.29 988 1.00
## sigma 5.11 0.00 0.19 4.86 5.11 5.35 2249 1.00
## y_rep[1] 157.25 0.11 5.19 150.72 157.24 163.86 2041 1.00
## y_rep[2] 146.94 0.11 5.07 140.51 146.86 153.45 1995 1.00
## y_rep[3] 142.78 0.12 5.20 135.99 142.81 149.52 1889 1.00
## y_rep[4] 161.85 0.12 5.14 155.16 161.72 168.38 1922 1.00
## y_rep[5] 151.37 0.11 5.10 144.74 151.47 157.58 2054 1.00
## y_rep[6] 170.67 0.13 5.44 163.83 170.58 177.49 1839 1.00
## y_rep[7] 148.26 0.12 5.15 141.63 148.17 154.92 1964 1.00
## y_rep[8] 164.10 0.12 5.36 157.28 164.15 170.81 2072 1.00
## y_rep[9] 145.60 0.14 5.27 138.80 145.65 152.30 1488 1.00
## y_rep[10] 163.15 0.12 5.16 156.48 163.23 169.62 1864 1.00
## y_rep[11] 159.00 0.11 5.14 152.53 158.95 165.47 2010 1.00
## y_rep[12] 151.00 0.12 4.93 144.76 150.94 157.60 1793 1.00
## y_rep[13] 146.66 0.12 5.11 140.38 146.39 153.40 1794 1.00
## y_rep[14] 157.26 0.12 5.23 150.44 157.38 164.06 1880 1.00
## y_rep[15] 144.38 0.12 5.19 137.47 144.58 150.91 1735 1.00
## y_rep[16] 157.90 0.11 5.13 151.33 157.97 164.51 2031 1.00
## y_rep[17] 152.10 0.12 5.23 145.43 152.05 158.93 2056 1.00
## y_rep[18] 148.43 0.12 5.19 141.73 148.61 155.05 1819 1.00
## y_rep[19] 158.27 0.12 5.18 151.63 158.26 164.72 1868 1.00
## y_rep[20] 152.75 0.13 5.24 146.04 152.81 159.40 1705 1.00
## y_rep[21] 145.87 0.11 4.98 139.40 145.92 152.12 1972 1.00
## y_rep[22] 148.24 0.11 5.14 141.53 148.24 154.90 2086 1.00
## y_rep[23] 146.09 0.12 5.11 139.69 146.11 152.79 1871 1.00
## y_rep[24] 150.29 0.12 5.26 143.52 150.16 157.00 1927 1.00
## y_rep[25] 163.76 0.11 5.09 157.31 163.75 170.35 2004 1.00
## y_rep[26] 147.85 0.11 5.13 141.35 147.74 154.31 1994 1.00
## y_rep[27] 148.78 0.12 5.21 142.38 148.76 155.28 2043 1.00
## y_rep[28] 156.10 0.11 4.95 149.77 156.12 162.42 2005 1.00
## y_rep[29] 148.80 0.12 5.20 141.98 148.84 155.20 1996 1.00
## y_rep[30] 146.01 0.12 5.17 139.14 146.14 152.38 1861 1.00
## y_rep[31] 156.62 0.13 5.27 149.85 156.66 163.40 1540 1.01
## y_rep[32] 157.04 0.11 5.09 150.65 156.91 163.45 2011 1.00
## y_rep[33] 158.49 0.12 5.19 151.85 158.50 165.07 1925 1.00
## y_rep[34] 158.64 0.11 5.07 152.08 158.72 165.00 2104 1.00
## y_rep[35] 165.13 0.12 5.08 158.80 165.22 171.70 1930 1.00
## y_rep[36] 149.19 0.12 5.12 142.60 149.22 155.70 1966 1.00
## y_rep[37] 158.96 0.13 5.18 152.22 158.98 165.50 1680 1.00
## y_rep[38] 151.24 0.13 5.05 144.58 151.39 157.91 1541 1.00
## y_rep[39] 148.63 0.11 5.22 141.89 148.63 155.24 2254 1.00
## y_rep[40] 152.29 0.12 5.15 145.86 152.30 158.85 1906 1.00
## y_rep[41] 154.21 0.11 5.01 147.80 154.12 160.88 2018 1.00
## y_rep[42] 166.70 0.12 5.02 160.24 166.68 173.07 1654 1.00
## y_rep[43] 156.15 0.11 5.23 149.38 156.10 162.68 2101 1.00
## y_rep[44] 153.94 0.12 5.32 146.89 153.98 160.75 1914 1.00
## y_rep[45] 160.15 0.11 4.98 153.69 160.29 166.48 2004 1.00
## y_rep[46] 163.17 0.11 5.24 156.57 163.20 169.76 2184 1.00
## y_rep[47] 155.42 0.12 5.25 148.67 155.38 162.18 2047 1.00
## y_rep[48] 157.20 0.11 5.22 150.67 157.08 164.15 2108 1.00
## y_rep[49] 161.19 0.12 5.24 154.26 161.07 167.99 1964 1.00
## y_rep[50] 156.85 0.11 5.04 150.44 156.89 163.32 2051 1.00
## y_rep[51] 155.31 0.11 5.06 148.79 155.36 162.02 2007 1.00
## y_rep[52] 152.05 0.11 5.08 145.62 151.92 158.66 2014 1.00
## y_rep[53] 146.84 0.12 5.10 140.35 146.81 153.32 1963 1.00
## y_rep[54] 164.49 0.13 5.16 157.85 164.32 171.18 1659 1.00
## y_rep[55] 147.58 0.11 5.09 141.25 147.61 154.03 2131 1.00
## y_rep[56] 157.77 0.12 5.16 151.28 157.69 164.10 1943 1.00
## y_rep[57] 147.58 0.11 5.09 140.98 147.56 154.14 2035 1.00
## y_rep[58] 156.71 0.11 5.20 149.88 156.70 163.53 2088 1.00
## y_rep[59] 156.67 0.12 5.26 150.04 156.53 163.54 1941 1.00
## y_rep[60] 165.84 0.12 5.13 159.06 165.93 172.49 1930 1.00
## y_rep[61] 148.22 0.11 5.01 141.70 148.36 154.63 1939 1.00
## y_rep[62] 156.51 0.12 5.27 149.87 156.62 163.09 1945 1.00
## y_rep[63] 152.89 0.11 5.17 146.33 152.98 159.30 2034 1.00
## y_rep[64] 159.46 0.11 5.21 152.75 159.44 166.41 2199 1.00
## y_rep[65] 149.74 0.12 5.11 143.32 149.65 156.47 1837 1.00
## y_rep[66] 159.95 0.11 5.08 153.41 159.93 166.63 2024 1.00
## y_rep[67] 149.84 0.12 5.24 143.16 149.79 156.32 1979 1.00
## y_rep[68] 146.88 0.12 5.07 140.42 146.81 153.37 1857 1.00
## y_rep[69] 155.69 0.12 5.11 149.22 155.75 162.28 1963 1.00
## y_rep[70] 151.98 0.12 5.08 145.54 151.88 158.59 1858 1.00
## y_rep[71] 157.11 0.12 5.21 150.60 157.15 163.89 2046 1.00
## y_rep[72] 164.35 0.12 5.23 157.52 164.35 170.98 1839 1.00
## y_rep[73] 157.84 0.12 5.12 151.33 157.92 164.31 1949 1.00
## y_rep[74] 152.66 0.12 5.18 145.83 152.63 159.53 1947 1.00
## y_rep[75] 145.41 0.11 5.09 138.88 145.48 151.85 2159 1.00
## y_rep[76] 165.21 0.11 5.12 158.50 165.33 171.75 2015 1.00
## y_rep[77] 160.52 0.11 4.92 154.28 160.44 166.69 1870 1.00
## y_rep[78] 156.41 0.12 5.20 149.64 156.49 162.88 1938 1.00
## y_rep[79] 150.78 0.11 4.96 144.55 150.83 157.18 1939 1.00
## y_rep[80] 143.78 0.12 5.29 136.98 143.76 150.43 1891 1.00
## y_rep[81] 165.48 0.11 4.99 159.16 165.37 172.09 1969 1.00
## y_rep[82] 152.73 0.12 5.09 146.11 152.88 159.12 1916 1.00
## y_rep[83] 150.09 0.12 5.01 143.68 150.03 156.48 1776 1.00
## y_rep[84] 155.60 0.12 5.18 148.97 155.61 162.01 1994 1.00
## y_rep[85] 150.99 0.12 5.06 144.52 151.00 157.20 1842 1.00
## y_rep[86] 157.18 0.11 5.02 150.73 157.19 163.37 2130 1.00
## y_rep[87] 147.85 0.12 5.13 141.23 147.95 154.38 1788 1.00
## y_rep[88] 154.64 0.12 5.13 148.05 154.63 161.32 1944 1.00
## y_rep[89] 152.22 0.12 5.25 145.52 152.19 158.99 1935 1.00
## y_rep[90] 163.48 0.11 5.00 157.10 163.51 169.79 1987 1.00
## y_rep[91] 162.50 0.11 5.01 156.17 162.67 168.87 1973 1.00
## y_rep[92] 161.13 0.11 5.15 154.58 161.23 167.59 2222 1.00
## y_rep[93] 152.26 0.11 5.05 145.52 152.38 158.57 2100 1.00
## y_rep[94] 158.71 0.11 5.08 152.23 158.86 165.05 2179 1.00
## y_rep[95] 151.73 0.12 5.03 145.11 151.77 158.08 1842 1.00
## y_rep[96] 164.60 0.12 5.12 158.01 164.49 171.32 1949 1.00
## y_rep[97] 152.03 0.12 5.19 145.30 151.97 158.64 2015 1.00
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## y_rep[232] 145.00 0.12 5.19 138.30 145.01 151.71 1990 1.00
## y_rep[233] 149.50 0.12 5.18 142.79 149.53 156.23 1979 1.00
## y_rep[234] 167.78 0.12 5.12 161.17 167.82 174.48 1946 1.00
## y_rep[235] 161.02 0.11 5.08 154.63 161.07 167.68 2077 1.00
## y_rep[236] 150.06 0.11 4.97 143.81 150.11 156.18 2048 1.00
## y_rep[237] 153.79 0.12 5.09 147.26 153.82 160.34 1884 1.00
## y_rep[238] 163.24 0.13 5.16 156.64 163.17 169.65 1642 1.00
## y_rep[239] 154.77 0.11 5.10 148.40 154.63 161.46 2017 1.00
## y_rep[240] 151.55 0.12 5.24 144.96 151.47 158.03 1887 1.00
## y_rep[241] 151.82 0.13 5.21 145.17 151.86 158.42 1685 1.00
## y_rep[242] 152.32 0.12 5.09 145.84 152.46 158.71 1892 1.00
## y_rep[243] 152.83 0.13 5.12 146.24 152.80 159.56 1627 1.00
## y_rep[244] 150.97 0.12 5.18 144.19 151.04 157.45 1959 1.00
## y_rep[245] 152.71 0.12 4.97 146.50 152.65 158.92 1834 1.00
## y_rep[246] 155.76 0.12 5.10 148.99 155.81 162.31 1843 1.00
## y_rep[247] 157.26 0.12 5.14 150.64 157.35 163.61 1819 1.00
## y_rep[248] 152.47 0.11 5.14 145.96 152.49 159.03 2071 1.00
## y_rep[249] 157.73 0.11 5.00 151.40 157.74 164.08 1943 1.00
## y_rep[250] 155.42 0.11 5.07 149.04 155.46 161.94 2094 1.00
## y_rep[251] 161.78 0.11 5.18 155.14 161.85 168.31 2104 1.00
## y_rep[252] 157.03 0.12 5.25 150.23 157.06 163.62 2031 1.00
## y_rep[253] 153.18 0.12 5.25 146.57 153.14 159.93 1920 1.00
## y_rep[254] 153.33 0.12 5.07 146.89 153.40 159.83 1858 1.00
## y_rep[255] 162.05 0.12 5.20 155.52 162.04 168.69 1738 1.00
## y_rep[256] 154.28 0.12 5.09 147.86 154.31 160.73 1803 1.00
## y_rep[257] 156.56 0.11 5.10 150.09 156.58 163.11 2062 1.00
## y_rep[258] 142.44 0.12 5.19 135.97 142.41 149.15 1883 1.00
## y_rep[259] 165.06 0.12 5.23 158.56 164.97 171.71 1878 1.00
## y_rep[260] 164.50 0.12 5.10 158.02 164.54 170.88 1846 1.00
## y_rep[261] 156.92 0.11 5.12 150.61 156.95 163.46 1995 1.00
## y_rep[262] 154.90 0.12 5.14 148.16 155.04 161.35 1837 1.00
## y_rep[263] 155.07 0.12 5.22 148.31 155.01 161.70 1925 1.00
## y_rep[264] 158.27 0.13 5.09 151.82 158.22 164.90 1596 1.00
## y_rep[265] 155.92 0.11 5.09 149.43 156.01 162.29 1968 1.00
## y_rep[266] 153.69 0.11 5.00 147.11 153.86 160.06 1931 1.00
## y_rep[267] 164.85 0.12 5.08 158.25 164.86 171.54 1937 1.00
## y_rep[268] 150.20 0.12 5.11 143.72 150.17 156.70 1934 1.00
## y_rep[269] 159.91 0.11 5.12 153.38 159.92 166.52 2022 1.00
## y_rep[270] 155.71 0.12 5.26 148.93 155.65 162.30 1961 1.00
## y_rep[271] 158.59 0.12 5.15 152.08 158.52 165.13 1979 1.00
## y_rep[272] 153.70 0.11 5.10 147.04 153.75 160.27 1974 1.00
## y_rep[273] 159.89 0.11 5.09 153.16 159.92 166.49 2046 1.00
## y_rep[274] 150.74 0.12 5.32 144.19 150.65 157.50 1857 1.00
## y_rep[275] 147.71 0.12 5.14 141.26 147.51 154.15 1892 1.00
## y_rep[276] 160.44 0.11 5.28 153.63 160.58 167.12 2240 1.00
## y_rep[277] 154.37 0.11 5.08 147.95 154.38 161.02 2065 1.00
## y_rep[278] 153.27 0.11 5.10 146.71 153.42 159.74 1977 1.00
## y_rep[279] 156.21 0.13 5.22 149.36 156.34 162.69 1730 1.00
## y_rep[280] 149.75 0.12 5.10 143.08 149.79 156.29 1912 1.00
## y_rep[281] 145.28 0.12 5.25 138.45 145.34 151.91 1945 1.00
## y_rep[282] 149.39 0.12 5.10 142.52 149.52 155.71 1811 1.00
## y_rep[283] 147.78 0.12 5.10 141.12 147.87 154.29 1825 1.00
## y_rep[284] 157.84 0.12 5.07 151.50 157.84 164.32 1788 1.00
## y_rep[285] 146.06 0.12 5.16 139.37 146.12 152.64 1867 1.00
## y_rep[286] 153.66 0.11 4.96 147.50 153.75 160.09 1935 1.00
## y_rep[287] 157.48 0.12 5.30 150.71 157.44 164.01 1831 1.00
## y_rep[288] 159.89 0.11 5.15 153.31 159.85 166.48 2127 1.00
## y_rep[289] 153.78 0.12 5.08 147.11 153.95 160.19 1702 1.00
## y_rep[290] 157.33 0.11 5.07 151.10 157.25 163.81 2047 1.00
## y_rep[291] 156.10 0.12 5.14 149.51 156.18 162.61 1780 1.00
## y_rep[292] 165.15 0.12 5.23 158.44 165.30 171.81 2026 1.00
## y_rep[293] 157.86 0.12 5.16 151.11 157.84 164.35 1927 1.00
## y_rep[294] 157.47 0.11 5.23 150.69 157.51 164.09 2119 1.00
## y_rep[295] 156.93 0.11 5.17 150.41 156.95 163.47 2053 1.00
## y_rep[296] 145.90 0.12 5.17 139.46 145.89 152.56 1867 1.00
## y_rep[297] 147.04 0.12 5.09 140.49 147.01 153.48 1911 1.00
## y_rep[298] 158.16 0.12 5.19 151.54 158.11 164.77 1755 1.00
## y_rep[299] 160.06 0.12 5.10 153.47 160.05 166.55 1886 1.00
## y_rep[300] 155.99 0.12 5.23 149.33 156.11 162.72 1805 1.00
## y_rep[301] 147.46 0.12 5.12 140.87 147.44 154.16 1943 1.00
## y_rep[302] 157.82 0.11 5.07 151.43 157.75 164.37 1967 1.00
## y_rep[303] 148.35 0.12 5.16 141.84 148.41 154.80 1772 1.00
## y_rep[304] 156.63 0.11 5.05 149.91 156.80 163.02 2094 1.00
## y_rep[305] 164.00 0.12 5.19 157.09 164.21 170.65 1888 1.00
## y_rep[306] 162.85 0.12 5.15 156.46 162.83 169.47 1882 1.00
## y_rep[307] 157.76 0.11 5.08 151.27 157.81 164.32 2008 1.00
## y_rep[308] 153.07 0.11 5.07 146.56 153.16 159.50 2048 1.00
## y_rep[309] 144.91 0.12 5.27 137.93 144.90 151.66 2028 1.00
## y_rep[310] 159.16 0.12 5.06 152.98 159.12 165.72 1923 1.00
## y_rep[311] 154.01 0.12 5.15 147.31 154.12 160.40 1941 1.00
## y_rep[312] 144.26 0.12 5.26 137.44 144.35 150.97 1943 1.00
## y_rep[313] 156.55 0.12 5.14 150.01 156.54 163.18 1942 1.00
## y_rep[314] 155.78 0.12 5.20 149.21 155.82 162.38 1972 1.00
## y_rep[315] 156.71 0.12 5.09 150.12 156.54 163.52 1881 1.00
## y_rep[316] 150.95 0.12 5.06 144.60 150.94 157.37 1780 1.00
## y_rep[317] 159.43 0.11 5.12 152.60 159.51 165.99 2063 1.00
## y_rep[318] 154.88 0.11 5.13 148.18 154.80 161.44 2111 1.00
## y_rep[319] 152.19 0.12 5.14 145.74 152.08 158.73 1858 1.00
## y_rep[320] 151.56 0.12 5.07 145.13 151.45 158.20 1849 1.00
## y_rep[321] 154.85 0.12 5.06 148.40 154.81 161.12 1931 1.00
## y_rep[322] 160.24 0.12 5.26 153.38 160.31 167.00 1801 1.00
## y_rep[323] 158.47 0.11 5.00 152.29 158.44 164.63 2205 1.00
## y_rep[324] 160.48 0.12 5.11 154.06 160.42 166.93 1961 1.00
## y_rep[325] 153.74 0.12 5.04 147.21 153.59 160.28 1848 1.00
## y_rep[326] 146.01 0.12 5.19 139.36 145.97 152.72 1994 1.00
## y_rep[327] 152.55 0.12 5.28 145.79 152.51 159.33 1898 1.00
## y_rep[328] 156.04 0.12 5.18 149.43 156.13 162.64 1887 1.00
## y_rep[329] 151.81 0.11 5.10 145.34 151.79 158.36 2001 1.00
## y_rep[330] 148.39 0.12 5.11 142.08 148.35 154.87 1888 1.00
## y_rep[331] 153.12 0.11 5.09 146.54 153.16 159.56 1992 1.00
## y_rep[332] 162.52 0.11 5.14 155.96 162.34 169.07 2015 1.00
## y_rep[333] 152.68 0.12 5.18 146.20 152.49 159.48 2012 1.00
## y_rep[334] 149.86 0.12 5.24 143.08 149.80 156.72 2065 1.00
## y_rep[335] 153.08 0.11 5.15 146.66 153.09 159.80 2177 1.00
## y_rep[336] 161.73 0.12 5.17 155.06 161.81 168.52 2013 1.00
## y_rep[337] 148.72 0.11 5.19 141.93 148.71 155.50 2043 1.00
## y_rep[338] 152.55 0.12 5.15 145.86 152.47 159.30 1974 1.00
## y_rep[339] 146.42 0.12 5.12 140.00 146.37 153.13 1957 1.00
## y_rep[340] 153.75 0.12 5.10 147.24 153.76 160.24 1701 1.00
## y_rep[341] 148.36 0.12 5.16 141.65 148.42 154.88 1929 1.00
## y_rep[342] 153.73 0.11 5.06 147.15 153.60 160.46 2086 1.00
## y_rep[343] 153.93 0.12 5.16 147.34 154.05 160.24 1891 1.00
## y_rep[344] 157.05 0.12 5.16 150.74 156.88 163.76 1953 1.00
## y_rep[345] 149.43 0.13 5.10 142.96 149.39 155.93 1478 1.00
## y_rep[346] 151.09 0.12 5.09 144.49 151.19 157.41 1913 1.00
## y_rep[347] 150.99 0.12 5.19 144.33 151.10 157.49 1969 1.00
## y_rep[348] 156.47 0.12 5.19 149.84 156.32 163.32 2033 1.00
## y_rep[349] 144.67 0.12 5.15 138.25 144.59 151.43 1946 1.00
## y_rep[350] 161.04 0.12 5.27 154.58 161.01 167.98 2046 1.00
## y_rep[351] 162.79 0.12 5.02 156.18 162.83 169.26 1644 1.00
## y_rep[352] 161.62 0.11 5.00 155.19 161.75 167.96 2111 1.00
## lp__ -749.57 0.06 1.45 -751.51 -749.24 -748.08 564 1.00
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Fri Nov 22 17:57:32 2019.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).
summary(lm(height~weight.z+I(weight.z^2),data=howell2))
##
## Call:
## lm(formula = height ~ weight.z + I(weight.z^2), data = howell2)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -19.7517 -2.8933 0.0313 3.1419 14.7936
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 154.60953 0.35209 439.120 <2e-16 ***
## weight.z 5.84515 0.27348 21.373 <2e-16 ***
## I(weight.z^2) -0.01248 0.22483 -0.055 0.956
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 5.094 on 349 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.5696, Adjusted R-squared: 0.5672
## F-statistic: 231 on 2 and 349 DF, p-value: < 2.2e-16
See Figure 4.9 of Statistical rethinking
https://github.com/ssp3nc3r/rethinking/blob/master/chapter04.Rmd
Here, all the variance is represented (variance of actual heights).
Standardizing the explanatory variable:
howell1 <- howell1 %>% mutate(weight.z = (weight - mean(weight)) / sd(weight))
Data in a list:
m7.data <- list(N = nrow(howell1), height = howell1$height, weight = howell1$weight.z)
data { // observed variables
int<lower=1> N; // number of observations
vector[N] height; // response variables
vector[N] weight; // predictor (previously centered)
}
parameters { // unobserved variables
real beta[3]; // parameters: intercept and slope
real sigma;
}
model {
height ~ normal(beta[1] + beta[2]*weight + beta[3]*(weight .* weight),sigma); // likelihood
beta[1] ~ normal(178, 100); // prior of the intercept
beta[2] ~ normal(0, 100); // prior of the slope
beta[3] ~ normal(0, 100);
sigma ~ uniform(0,50);
}
generated quantities {
vector[N] y_rep;
for(i in 1:N)
y_rep[i] = normal_rng(beta[1] + beta[2]*weight[i] + beta[3]*(weight[i] .* weight[i]), sigma);
}
fit.m7 <- sampling(m7, data = m7.data, iter = 1000, chains = 4, cores = 4)
print(fit.m7, probs = c(0.10, 0.5, 0.9))
## Inference for Stan model: c7fbeba14f23c52987bbbb1ee94a3a29.
## 4 chains, each with iter=1000; warmup=500; thin=1;
## post-warmup draws per chain=500, total post-warmup draws=2000.
##
## mean se_mean sd 10% 50% 90% n_eff Rhat
## beta[1] 146.65 0.01 0.36 146.19 146.64 147.12 901 1.00
## beta[2] 21.42 0.01 0.27 21.06 21.42 21.76 597 1.01
## beta[3] -8.40 0.01 0.28 -8.77 -8.40 -8.05 712 1.00
## sigma 5.77 0.00 0.18 5.55 5.77 6.00 2401 1.00
## y_rep[1] 158.78 0.13 5.73 151.57 158.81 165.97 1978 1.00
## y_rep[2] 148.02 0.13 5.79 140.74 148.02 155.29 1963 1.00
## y_rep[3] 140.64 0.13 5.92 132.97 140.75 148.15 1961 1.00
## y_rep[4] 160.20 0.13 5.68 152.71 160.24 167.62 2047 1.00
## y_rep[5] 153.52 0.14 5.81 146.05 153.51 161.07 1824 1.00
## y_rep[6] 157.46 0.14 5.93 149.74 157.42 165.19 1895 1.00
## y_rep[7] 150.15 0.13 5.82 142.68 150.33 157.44 1893 1.00
## y_rep[8] 160.32 0.12 5.65 153.27 160.21 167.48 2076 1.00
## y_rep[9] 145.63 0.13 5.65 138.16 145.71 152.86 1864 1.00
## y_rep[10] 160.21 0.13 5.61 152.95 160.16 167.56 1998 1.00
## y_rep[11] 159.64 0.13 5.70 152.26 159.59 166.98 2070 1.00
## y_rep[12] 153.49 0.13 5.83 146.06 153.42 161.07 1994 1.00
## y_rep[13] 147.28 0.13 5.76 140.05 147.25 154.60 1968 1.00
## y_rep[14] 158.59 0.13 5.77 151.28 158.67 166.10 2035 1.00
## y_rep[15] 143.92 0.13 5.87 136.10 144.00 151.52 2123 1.00
## y_rep[16] 159.01 0.13 5.76 151.62 159.16 166.42 1859 1.00
## y_rep[17] 154.47 0.13 5.73 146.96 154.41 161.77 1963 1.00
## y_rep[18] 150.45 0.14 5.88 142.95 150.52 158.11 1895 1.00
## y_rep[19] 113.36 0.13 5.80 106.08 113.26 120.78 2021 1.00
## y_rep[20] 97.13 0.13 5.69 89.84 97.06 104.28 1909 1.00
## y_rep[21] 85.82 0.14 5.84 78.51 85.82 93.26 1764 1.00
## y_rep[22] 159.14 0.13 5.79 151.87 159.07 166.45 1953 1.00
## y_rep[23] 154.85 0.12 5.69 147.69 154.86 162.04 2209 1.00
## y_rep[24] 123.54 0.13 5.86 115.90 123.55 131.15 1939 1.00
## y_rep[25] 103.07 0.13 5.85 95.76 102.94 110.63 1940 1.00
## y_rep[26] 146.68 0.13 5.83 139.39 146.73 154.21 1974 1.00
## y_rep[27] 149.77 0.13 5.72 142.39 149.93 157.14 1906 1.00
## y_rep[28] 146.43 0.15 5.74 139.19 146.42 153.73 1467 1.00
## y_rep[29] 132.13 0.13 5.72 124.58 131.99 139.65 1885 1.00
## y_rep[30] 121.27 0.13 5.69 113.88 121.09 128.85 2004 1.00
## y_rep[31] 108.58 0.14 6.01 100.86 108.55 116.59 1832 1.00
## y_rep[32] 152.70 0.13 5.78 145.23 152.76 160.18 1956 1.00
## y_rep[33] 160.13 0.14 5.90 152.56 160.08 167.75 1910 1.00
## y_rep[34] 149.10 0.13 5.90 141.52 149.12 156.69 2081 1.00
## y_rep[35] 150.44 0.13 5.71 143.18 150.50 157.77 1825 1.00
## y_rep[36] 157.98 0.13 5.71 150.48 158.06 165.33 2063 1.00
## y_rep[37] 150.80 0.13 5.71 143.32 150.87 157.98 1990 1.00
## y_rep[38] 146.49 0.12 5.62 139.17 146.54 153.76 2122 1.00
## y_rep[39] 158.26 0.12 5.58 151.17 158.17 165.51 2208 1.00
## y_rep[40] 158.59 0.14 5.90 150.82 158.59 166.19 1658 1.00
## y_rep[41] 159.19 0.13 5.84 151.85 159.08 166.86 2033 1.00
## y_rep[42] 159.30 0.13 5.85 152.05 159.14 166.92 1955 1.00
## y_rep[43] 159.94 0.14 5.84 152.36 160.13 167.27 1666 1.00
## y_rep[44] 151.32 0.14 5.79 143.76 151.42 158.56 1792 1.00
## y_rep[45] 159.50 0.13 5.84 151.84 159.41 166.91 1932 1.00
## y_rep[46] 134.91 0.14 5.73 127.64 134.80 142.25 1714 1.00
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## y_rep[48] 123.05 0.12 5.69 116.07 122.80 130.57 2220 1.00
## y_rep[49] 94.71 0.13 5.67 87.59 94.79 101.95 1891 1.00
## y_rep[50] 153.53 0.13 5.88 146.04 153.63 160.99 1898 1.00
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## y_rep[54] 119.70 0.13 5.81 112.29 119.67 127.17 1869 1.00
## y_rep[55] 101.51 0.13 5.75 94.36 101.55 108.71 1898 1.00
## y_rep[56] 93.14 0.14 5.85 85.88 92.96 100.97 1739 1.00
## y_rep[57] 159.52 0.13 5.80 152.12 159.55 166.88 2096 1.00
## y_rep[58] 157.98 0.13 5.74 150.60 158.03 165.43 1881 1.00
## y_rep[59] 156.39 0.13 6.03 148.74 156.42 164.20 2000 1.00
## y_rep[60] 159.88 0.14 5.85 152.43 159.81 167.55 1798 1.00
## y_rep[61] 160.26 0.13 5.82 152.68 160.41 167.81 1977 1.00
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## y_rep[63] 158.78 0.13 5.64 151.62 158.81 165.96 1938 1.00
## y_rep[64] 160.09 0.13 5.86 152.57 160.09 167.56 1953 1.00
## y_rep[65] 158.60 0.14 5.87 151.08 158.53 166.31 1655 1.00
## y_rep[66] 157.30 0.13 5.76 149.83 157.26 164.64 2004 1.00
## y_rep[67] 154.73 0.13 5.73 147.41 154.74 162.00 1908 1.00
## y_rep[68] 147.92 0.13 5.54 140.88 147.93 155.04 1836 1.00
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## y_rep[70] 148.64 0.13 5.89 140.93 148.77 155.95 2129 1.01
## y_rep[71] 125.74 0.13 5.81 118.20 125.83 133.26 1944 1.00
## y_rep[72] 128.25 0.13 5.68 120.82 128.31 135.51 2009 1.00
## y_rep[73] 159.10 0.13 5.67 151.91 159.05 166.39 1884 1.00
## y_rep[74] 148.92 0.13 5.73 141.44 149.01 156.25 1969 1.00
## y_rep[75] 136.57 0.13 5.89 128.85 136.76 144.09 1973 1.00
## y_rep[76] 158.33 0.13 5.81 150.93 158.20 165.71 2127 1.00
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## y_rep[92] 154.74 0.13 5.77 147.31 154.75 161.82 2015 1.00
## y_rep[93] 158.56 0.13 5.88 150.97 158.53 166.24 2008 1.00
## y_rep[94] 160.27 0.13 5.74 152.78 160.35 167.40 1852 1.00
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## y_rep[125] 154.74 0.13 5.81 147.31 154.86 162.01 2130 1.00
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## y_rep[127] 94.34 0.13 5.84 86.95 94.43 101.73 1959 1.00
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## y_rep[413] 149.44 0.12 5.71 142.17 149.31 156.76 2168 1.00
## y_rep[414] 159.86 0.13 5.63 152.68 159.84 166.97 2001 1.00
## y_rep[415] 156.96 0.13 5.70 149.61 157.07 164.05 2027 1.00
## y_rep[416] 77.02 0.13 5.66 69.71 77.06 84.16 1974 1.00
## y_rep[417] 155.29 0.13 5.89 147.73 155.32 162.61 2022 1.00
## y_rep[418] 158.02 0.13 5.61 150.87 158.20 165.14 1965 1.00
## y_rep[419] 151.88 0.13 5.85 144.50 151.75 159.32 2169 1.00
## y_rep[420] 145.42 0.14 5.86 137.79 145.39 152.77 1850 1.00
## y_rep[421] 121.78 0.13 5.70 114.54 121.94 128.95 2078 1.00
## y_rep[422] 151.56 0.12 5.66 144.11 151.57 158.66 2320 1.00
## y_rep[423] 149.16 0.13 5.87 141.73 149.20 156.74 1995 1.00
## y_rep[424] 159.08 0.14 5.74 151.66 159.19 166.20 1614 1.00
## y_rep[425] 146.63 0.12 5.74 139.23 146.67 153.86 2193 1.00
## y_rep[426] 81.71 0.14 5.80 74.25 81.56 89.41 1823 1.00
## y_rep[427] 156.06 0.13 5.75 148.78 156.02 163.41 2012 1.00
## y_rep[428] 158.90 0.13 5.72 151.42 158.90 166.35 2018 1.00
## y_rep[429] 136.93 0.13 5.67 129.58 136.93 144.31 1949 1.00
## y_rep[430] 159.95 0.14 5.76 152.62 159.93 167.18 1768 1.00
## y_rep[431] 156.08 0.13 5.87 148.55 156.09 163.50 1951 1.00
## y_rep[432] 133.90 0.13 5.79 126.44 133.82 141.39 2004 1.00
## y_rep[433] 115.38 0.14 5.84 107.89 115.43 122.69 1789 1.00
## y_rep[434] 158.89 0.13 5.87 151.39 158.95 166.32 2037 1.00
## y_rep[435] 151.54 0.14 5.82 144.08 151.44 159.14 1712 1.00
## y_rep[436] 158.03 0.13 5.83 150.64 157.93 165.04 1873 1.00
## y_rep[437] 160.07 0.14 5.90 152.61 160.11 167.65 1876 1.00
## y_rep[438] 159.04 0.13 5.63 151.90 159.16 166.28 1954 1.00
## y_rep[439] 158.90 0.13 5.93 151.51 158.81 166.39 2196 1.00
## y_rep[440] 95.04 0.13 5.84 87.58 95.05 102.67 2135 1.00
## y_rep[441] 72.11 0.14 5.87 64.64 71.94 79.70 1878 1.00
## y_rep[442] 158.44 0.14 5.85 151.22 158.35 165.84 1845 1.00
## y_rep[443] 146.55 0.13 5.77 139.52 146.56 154.08 2008 1.00
## y_rep[444] 148.08 0.13 5.78 140.79 147.88 155.47 1998 1.00
## y_rep[445] 159.16 0.12 5.75 151.90 159.32 166.35 2147 1.00
## y_rep[446] 159.75 0.13 5.78 152.07 159.88 167.13 2069 1.00
## y_rep[447] 157.89 0.12 5.58 150.74 157.73 165.38 2026 1.00
## y_rep[448] 148.59 0.13 5.62 141.46 148.40 155.79 1784 1.00
## y_rep[449] 126.93 0.13 5.58 119.88 127.07 134.01 1824 1.00
## y_rep[450] 103.95 0.14 5.72 96.42 104.05 111.30 1710 1.00
## y_rep[451] 158.89 0.12 5.55 151.81 158.89 165.88 2062 1.00
## y_rep[452] 150.01 0.12 5.64 142.95 149.88 157.30 2133 1.00
## y_rep[453] 78.78 0.13 5.78 71.42 78.84 86.11 2020 1.00
## y_rep[454] 158.36 0.13 5.83 150.80 158.43 165.57 1984 1.00
## y_rep[455] 134.30 0.13 5.81 126.85 134.25 141.86 2002 1.00
## y_rep[456] 77.38 0.13 5.88 69.85 77.31 84.94 2030 1.00
## y_rep[457] 73.88 0.13 5.65 66.55 73.99 81.18 1843 1.00
## y_rep[458] 160.11 0.14 5.99 152.26 160.20 167.67 1953 1.00
## y_rep[459] 141.85 0.13 5.83 134.39 141.96 149.27 2148 1.00
## y_rep[460] 160.27 0.13 5.73 153.09 160.26 167.80 2003 1.00
## y_rep[461] 158.80 0.13 5.63 151.67 158.80 166.14 1972 1.00
## y_rep[462] 155.58 0.13 5.69 148.39 155.52 162.90 1941 1.00
## y_rep[463] 74.12 0.13 5.73 66.95 74.02 81.48 1909 1.00
## y_rep[464] 144.56 0.13 5.76 137.23 144.52 152.07 1977 1.00
## y_rep[465] 159.49 0.13 5.86 151.90 159.61 167.21 2007 1.00
## y_rep[466] 153.37 0.13 5.84 146.08 153.27 160.80 2017 1.00
## y_rep[467] 65.23 0.13 5.95 57.34 65.21 72.99 2060 1.00
## y_rep[468] 70.44 0.13 5.89 62.98 70.47 77.84 2111 1.00
## y_rep[469] 156.18 0.13 5.73 148.86 156.23 163.47 1989 1.00
## y_rep[470] 143.49 0.14 5.87 136.09 143.24 151.13 1761 1.00
## y_rep[471] 105.81 0.13 5.93 98.36 105.64 113.69 2063 1.00
## y_rep[472] 77.90 0.14 5.79 70.51 77.83 85.38 1650 1.00
## y_rep[473] 158.38 0.13 5.79 150.86 158.37 165.73 1973 1.00
## y_rep[474] 157.74 0.12 5.69 150.72 157.75 164.94 2098 1.00
## y_rep[475] 115.01 0.13 5.81 107.54 114.99 122.52 2124 1.00
## y_rep[476] 93.33 0.13 5.73 86.16 93.43 100.56 1999 1.00
## y_rep[477] 158.52 0.14 5.89 150.89 158.60 166.08 1863 1.00
## y_rep[478] 153.04 0.13 5.71 146.10 152.94 160.23 2025 1.00
## y_rep[479] 159.62 0.13 5.74 152.50 159.71 166.97 1935 1.00
## y_rep[480] 157.02 0.13 5.87 149.44 156.98 164.31 1951 1.00
## y_rep[481] 89.55 0.13 5.99 81.82 89.52 97.27 2018 1.00
## y_rep[482] 154.63 0.13 5.76 147.24 154.70 162.15 1904 1.00
## y_rep[483] 153.70 0.12 5.71 146.17 153.88 160.73 2188 1.00
## y_rep[484] 81.35 0.13 5.88 73.89 81.48 88.83 2016 1.00
## y_rep[485] 157.16 0.13 5.74 149.58 157.32 164.40 1927 1.00
## y_rep[486] 159.97 0.14 5.91 152.60 159.97 167.36 1876 1.00
## y_rep[487] 117.65 0.13 5.89 109.99 117.70 125.07 2153 1.00
## y_rep[488] 89.53 0.13 5.72 82.22 89.71 96.97 1932 1.00
## y_rep[489] 159.28 0.13 5.76 152.05 159.12 166.74 1834 1.00
## y_rep[490] 133.21 0.13 5.83 125.85 133.13 140.98 2074 1.00
## y_rep[491] 160.00 0.13 5.84 152.51 159.85 167.64 2012 1.00
## y_rep[492] 156.04 0.12 5.73 148.70 155.97 163.33 2260 1.00
## y_rep[493] 108.27 0.13 5.73 100.97 108.37 115.16 1801 1.00
## y_rep[494] 146.58 0.13 5.93 138.76 146.56 154.11 1937 1.00
## y_rep[495] 144.79 0.13 5.92 136.95 144.90 152.40 2032 1.00
## y_rep[496] 155.38 0.13 5.88 147.87 155.46 162.99 2003 1.00
## y_rep[497] 142.18 0.13 5.94 134.57 142.15 149.78 2098 1.00
## y_rep[498] 158.15 0.13 5.68 150.93 158.21 165.47 1898 1.00
## y_rep[499] 154.40 0.13 5.77 147.16 154.27 161.89 1931 1.00
## y_rep[500] 150.09 0.13 5.92 142.46 150.05 157.57 1925 1.00
## y_rep[501] 155.68 0.13 5.80 148.38 155.78 163.20 1887 1.00
## y_rep[502] 160.33 0.14 5.83 152.87 160.19 167.89 1773 1.00
## y_rep[503] 155.26 0.12 5.83 147.89 155.07 162.65 2252 1.00
## y_rep[504] 118.28 0.13 5.75 110.77 118.40 125.50 1934 1.00
## y_rep[505] 88.68 0.13 5.72 81.36 88.56 96.06 1919 1.00
## y_rep[506] 151.97 0.13 5.77 144.48 151.82 159.55 1873 1.00
## y_rep[507] 155.41 0.14 5.70 147.96 155.49 162.85 1725 1.00
## y_rep[508] 101.72 0.13 5.87 93.98 101.92 109.16 1956 1.00
## y_rep[509] 119.62 0.13 5.77 112.32 119.41 127.29 2013 1.00
## y_rep[510] 160.14 0.13 5.86 152.58 160.23 167.59 1912 1.00
## y_rep[511] 150.52 0.14 5.63 143.39 150.49 157.60 1697 1.00
## y_rep[512] 112.51 0.13 5.80 104.86 112.39 120.11 1905 1.00
## y_rep[513] 87.94 0.13 5.91 80.69 87.95 95.37 1931 1.00
## y_rep[514] 95.60 0.14 5.88 88.07 95.67 103.01 1894 1.00
## y_rep[515] 155.19 0.13 5.90 147.59 155.24 162.76 1968 1.00
## y_rep[516] 147.09 0.14 5.96 139.45 147.09 154.62 1938 1.00
## y_rep[517] 156.35 0.13 5.64 149.05 156.44 163.51 1959 1.00
## y_rep[518] 62.78 0.13 5.75 55.50 62.79 70.17 1949 1.00
## y_rep[519] 149.95 0.13 5.74 142.51 149.88 157.46 1839 1.00
## y_rep[520] 66.38 0.13 5.78 58.83 66.32 73.81 2072 1.00
## y_rep[521] 98.21 0.14 5.73 91.04 98.17 105.47 1776 1.00
## y_rep[522] 122.67 0.13 5.78 115.26 122.70 130.15 1869 1.00
## y_rep[523] 86.34 0.14 5.67 78.95 86.23 93.55 1597 1.00
## y_rep[524] 156.22 0.13 5.67 149.21 156.22 163.42 1960 1.00
## y_rep[525] 156.31 0.13 5.92 148.67 156.54 164.00 1956 1.00
## y_rep[526] 126.74 0.13 5.85 119.59 126.58 133.95 1896 1.00
## y_rep[527] 121.06 0.13 5.69 113.72 121.21 128.37 1998 1.00
## y_rep[528] 98.27 0.13 5.76 90.88 98.20 105.89 1958 1.00
## y_rep[529] 158.58 0.13 5.81 151.37 158.50 166.23 1959 1.00
## y_rep[530] 151.49 0.13 5.88 144.08 151.42 159.02 2117 1.00
## y_rep[531] 126.36 0.13 5.81 118.81 126.38 134.08 2118 1.00
## y_rep[532] 86.35 0.13 5.72 79.03 86.33 93.74 2086 1.00
## y_rep[533] 153.43 0.13 5.78 146.01 153.37 160.58 2019 1.00
## y_rep[534] 153.00 0.13 5.69 145.66 153.09 160.29 1909 1.00
## y_rep[535] 158.08 0.13 5.82 150.85 157.88 165.79 2125 1.00
## y_rep[536] 107.68 0.13 5.62 100.36 107.66 115.01 1827 1.00
## y_rep[537] 74.14 0.14 5.94 66.59 74.15 81.52 1911 1.00
## y_rep[538] 144.84 0.15 5.75 137.67 144.70 152.34 1543 1.00
## y_rep[539] 77.10 0.12 5.50 70.10 76.95 84.45 2129 1.00
## y_rep[540] 139.46 0.13 5.86 131.94 139.47 146.90 2057 1.00
## y_rep[541] 160.00 0.14 5.82 152.86 159.99 167.30 1740 1.00
## y_rep[542] 160.28 0.13 5.72 153.00 160.41 167.60 1830 1.00
## y_rep[543] 76.92 0.15 5.84 69.47 76.80 84.53 1470 1.00
## y_rep[544] 160.07 0.13 5.73 152.56 160.13 167.42 1995 1.00
## lp__ -1225.53 0.05 1.38 -1227.32 -1225.20 -1224.11 815 1.01
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Fri Nov 22 17:57:43 2019.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).
summary(lm(height~weight.z+I(weight.z^2),data=howell1))
##
## Call:
## lm(formula = height ~ weight.z + I(weight.z^2), data = howell1)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -19.9689 -3.9794 0.2364 3.9262 19.5182
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 146.6604 0.3748 391.30 <2e-16 ***
## weight.z 21.4149 0.2908 73.64 <2e-16 ***
## I(weight.z^2) -8.4123 0.2822 -29.80 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 5.766 on 541 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9565, Adjusted R-squared: 0.9564
## F-statistic: 5952 on 2 and 541 DF, p-value: < 2.2e-16
Figure 4.9 of Statistical rethinking
ggplot(howell2, aes(y = height, x = weight, group = male)) + geom_point() + geom_smooth(method = "lm")
Xmat <- model.matrix(~weight.z + male, howell2)
m8.data <- with(howell2, list(y = height, X = Xmat, nX = ncol(Xmat), n = nrow(howell2)))
data {
int<lower=1> n;
int<lower=1> nX;
vector [n] y;
matrix [n,nX] X;
}
parameters {
vector[nX] beta;
real sigma;
}
transformed parameters {
vector[n] mu;
mu = X*beta;
}
model {
y~normal(mu,sigma);
beta ~ normal(0,100);
sigma~cauchy(0,5);
}
generated quantities {
vector[n] log_lik;
for (i in 1:n) {
log_lik[i] = normal_lpdf(y[i] | mu[i], sigma);
}
}
fit.m8 <- sampling(m8, data = m8.data, iter = 1000, chains = 4, cores = 4)
print(fit.m8, probs = c(0.10, 0.5, 0.9))
## Inference for Stan model: ff983e7d557e1f552144a41483b33c4a.
## 4 chains, each with iter=1000; warmup=500; thin=1;
## post-warmup draws per chain=500, total post-warmup draws=2000.
##
## mean se_mean sd 10% 50% 90% n_eff Rhat
## beta[1] 151.56 0.01 0.34 151.13 151.56 152.00 1318 1
## beta[2] 4.14 0.01 0.27 3.79 4.13 4.49 1313 1
## beta[3] 6.50 0.02 0.54 5.79 6.51 7.20 1188 1
## sigma 4.28 0.00 0.16 4.07 4.28 4.49 1917 1
## mu[1] 159.87 0.01 0.34 159.43 159.87 160.30 2005 1
## mu[2] 146.11 0.01 0.39 145.62 146.10 146.62 1832 1
## mu[3] 143.15 0.01 0.52 142.48 143.14 143.83 1729 1
## mu[4] 163.21 0.01 0.39 162.70 163.22 163.72 1971 1
## mu[5] 149.18 0.01 0.31 148.78 149.18 149.58 1612 1
## mu[6] 169.59 0.02 0.70 168.69 169.60 170.49 1482 1
## mu[7] 147.23 0.01 0.35 146.79 147.23 147.70 1812 1
## mu[8] 164.78 0.01 0.45 164.18 164.79 165.35 1717 1
## mu[9] 145.07 0.01 0.43 144.54 145.07 145.64 1808 1
## mu[10] 164.14 0.01 0.43 163.58 164.15 164.69 1809 1
## mu[11] 154.70 0.01 0.46 154.10 154.70 155.29 1190 1
## mu[12] 155.64 0.01 0.45 155.05 155.64 156.21 1400 1
## mu[13] 145.82 0.01 0.40 145.32 145.81 146.34 1828 1
## mu[14] 153.29 0.01 0.40 152.78 153.29 153.80 1220 1
## mu[15] 144.42 0.01 0.46 143.84 144.42 145.02 1783 1
## mu[16] 160.34 0.01 0.34 159.91 160.35 160.77 2082 1
## mu[17] 156.35 0.01 0.42 155.80 156.35 156.88 1455 1
## mu[18] 147.31 0.01 0.35 146.86 147.31 147.77 1808 1
## mu[19] 160.62 0.01 0.34 160.18 160.62 161.04 2119 1
## mu[20] 150.10 0.01 0.32 149.70 150.10 150.50 1481 1
## mu[21] 151.97 0.02 0.64 151.14 151.97 152.80 1279 1
## mu[22] 147.02 0.01 0.35 146.57 147.01 147.49 1821 1
## mu[23] 145.45 0.01 0.41 144.94 145.45 145.99 1819 1
## mu[24] 155.06 0.01 0.48 154.44 155.06 155.67 1366 1
## mu[25] 164.54 0.01 0.44 163.95 164.55 165.11 1749 1
## mu[26] 146.76 0.01 0.36 146.30 146.76 147.25 1828 1
## mu[27] 147.40 0.01 0.34 146.96 147.40 147.85 1803 1
## mu[28] 152.59 0.01 0.37 152.13 152.59 153.07 1249 1
## mu[29] 147.62 0.01 0.34 147.18 147.62 148.06 1789 1
## mu[30] 145.53 0.01 0.41 145.02 145.52 146.06 1821 1
## mu[31] 153.10 0.01 0.39 152.60 153.10 153.60 1227 1
## mu[32] 159.91 0.01 0.34 159.47 159.91 160.33 2011 1
## mu[33] 160.89 0.01 0.34 160.45 160.89 161.32 2150 1
## mu[34] 160.87 0.01 0.34 160.43 160.87 161.30 2148 1
## mu[35] 165.47 0.01 0.48 164.84 165.48 166.09 1647 1
## mu[36] 147.80 0.01 0.33 147.37 147.80 148.24 1775 1
## mu[37] 154.70 0.01 0.46 154.10 154.70 155.29 1190 1
## mu[38] 155.66 0.01 0.45 155.07 155.66 156.23 1401 1
## mu[39] 147.43 0.01 0.34 146.99 147.43 147.89 1801 1
## mu[40] 156.39 0.01 0.42 155.85 156.40 156.93 1460 1
## mu[41] 157.84 0.01 0.37 157.35 157.84 158.31 1640 1
## mu[42] 166.77 0.01 0.55 166.06 166.79 167.47 1577 1
## mu[43] 152.67 0.01 0.37 152.20 152.67 153.15 1246 1
## mu[44] 151.07 0.01 0.33 150.65 151.07 151.49 1365 1
## mu[45] 155.34 0.01 0.49 154.72 155.34 155.97 1185 1
## mu[46] 157.54 0.02 0.61 156.75 157.53 158.32 1174 1
## mu[47] 158.63 0.01 0.35 158.17 158.63 159.08 1781 1
## mu[48] 153.50 0.01 0.41 152.98 153.50 154.02 1214 1
## mu[49] 162.69 0.01 0.38 162.19 162.70 163.16 2072 1
## mu[50] 153.25 0.01 0.40 152.74 153.25 153.75 1222 1
## mu[51] 151.98 0.01 0.35 151.54 151.98 152.43 1286 1
## mu[52] 149.90 0.01 0.31 149.50 149.90 150.30 1508 1
## mu[53] 152.60 0.02 0.61 151.82 152.61 153.40 1289 1
## mu[54] 165.07 0.01 0.47 164.46 165.08 165.66 1679 1
## mu[55] 146.56 0.01 0.37 146.10 146.55 147.05 1831 1
## mu[56] 160.18 0.01 0.34 159.74 160.18 160.60 2057 1
## mu[57] 146.65 0.01 0.37 146.19 146.65 147.14 1830 1
## mu[58] 159.45 0.01 0.34 159.01 159.45 159.89 1930 1
## mu[59] 153.03 0.01 0.39 152.54 153.03 153.52 1230 1
## mu[60] 166.10 0.01 0.51 165.43 166.12 166.76 1610 1
## mu[61] 147.03 0.01 0.35 146.59 147.03 147.51 1820 1
## mu[62] 152.98 0.01 0.39 152.49 152.97 153.47 1232 1
## mu[63] 156.91 0.01 0.40 156.38 156.91 157.42 1512 1
## mu[64] 161.43 0.01 0.35 160.99 161.44 161.87 2189 1
## mu[65] 147.96 0.01 0.33 147.54 147.96 148.39 1760 1
## mu[66] 161.71 0.01 0.35 161.24 161.72 162.15 2197 1
## mu[67] 148.00 0.01 0.33 147.58 148.00 148.43 1757 1
## mu[68] 145.98 0.01 0.39 145.49 145.97 146.50 1830 1
## mu[69] 158.87 0.01 0.35 158.42 158.87 159.31 1823 1
## mu[70] 149.81 0.01 0.31 149.41 149.81 150.21 1521 1
## mu[71] 159.74 0.01 0.34 159.31 159.75 160.17 1983 1
## mu[72] 164.92 0.01 0.46 164.32 164.94 165.51 1698 1
## mu[73] 160.34 0.01 0.34 159.91 160.35 160.77 2082 1
## mu[74] 150.16 0.01 0.32 149.75 150.16 150.56 1474 1
## mu[75] 145.20 0.01 0.42 144.67 145.20 145.75 1812 1
## mu[76] 159.10 0.02 0.70 158.21 159.08 159.99 1177 1
## mu[77] 155.57 0.01 0.51 154.93 155.56 156.21 1183 1
## mu[78] 159.49 0.01 0.34 159.05 159.49 159.92 1936 1
## mu[79] 148.96 0.01 0.32 148.56 148.96 149.37 1643 1
## mu[80] 143.69 0.01 0.50 143.06 143.69 144.34 1752 1
## mu[81] 165.79 0.01 0.50 165.15 165.81 166.43 1627 1
## mu[82] 156.76 0.01 0.41 156.23 156.77 157.28 1496 1
## mu[83] 148.32 0.01 0.32 147.91 148.32 148.74 1723 1
## mu[84] 158.67 0.01 0.35 158.21 158.67 159.12 1787 1
## mu[85] 149.07 0.01 0.31 148.67 149.07 149.48 1627 1
## mu[86] 159.72 0.01 0.34 159.29 159.73 160.16 1979 1
## mu[87] 146.76 0.01 0.36 146.30 146.76 147.25 1828 1
## mu[88] 158.07 0.01 0.37 157.59 158.07 158.53 1680 1
## mu[89] 149.81 0.01 0.31 149.41 149.81 150.21 1521 1
## mu[90] 164.38 0.01 0.44 163.80 164.38 164.94 1773 1
## mu[91] 163.52 0.01 0.40 162.99 163.53 164.04 1914 1
## mu[92] 162.67 0.01 0.37 162.18 162.68 163.14 2075 1
## mu[93] 149.90 0.01 0.31 149.50 149.90 150.30 1508 1
## mu[94] 154.50 0.01 0.45 153.92 154.50 155.07 1193 1
## mu[95] 155.96 0.01 0.44 155.40 155.97 156.53 1424 1
## mu[96] 165.12 0.01 0.47 164.51 165.13 165.72 1673 1
## mu[97] 149.74 0.01 0.31 149.34 149.74 150.14 1532 1
## mu[98] 163.25 0.01 0.39 162.73 163.26 163.76 1964 1
## mu[99] 161.41 0.01 0.35 160.97 161.42 161.86 2188 1
## mu[100] 149.98 0.01 0.31 149.57 149.97 150.37 1498 1
## mu[101] 160.69 0.01 0.34 160.25 160.69 161.12 2128 1
## mu[102] 147.40 0.01 0.34 146.96 147.40 147.85 1803 1
## mu[103] 154.65 0.01 0.46 154.05 154.64 155.23 1191 1
## mu[104] 167.52 0.01 0.59 166.76 167.53 168.27 1545 1
## mu[105] 159.94 0.01 0.34 159.51 159.95 160.37 2018 1
## mu[106] 147.91 0.01 0.33 147.48 147.91 148.34 1765 1
## mu[107] 146.36 0.01 0.38 145.89 146.35 146.86 1832 1
## mu[108] 149.72 0.01 0.31 149.32 149.72 150.12 1534 1
## mu[109] 157.78 0.01 0.37 157.29 157.78 158.26 1631 1
## mu[110] 153.39 0.01 0.40 152.88 153.39 153.90 1217 1
## mu[111] 164.59 0.01 0.44 164.01 164.60 165.16 1741 1
## mu[112] 143.87 0.01 0.49 143.25 143.87 144.50 1760 1
## mu[113] 148.92 0.01 0.32 148.52 148.93 149.33 1647 1
## mu[114] 162.03 0.01 0.36 161.56 162.04 162.49 2194 1
## mu[115] 160.65 0.01 0.34 160.21 160.66 161.08 2124 1
## mu[116] 156.97 0.02 0.58 156.22 156.96 157.71 1175 1
## mu[117] 163.89 0.01 0.42 163.33 163.89 164.42 1851 1
## mu[118] 164.70 0.01 0.45 164.11 164.71 165.28 1726 1
## mu[119] 149.80 0.01 0.31 149.39 149.79 150.19 1524 1
## mu[120] 148.96 0.01 0.32 148.56 148.96 149.37 1643 1
## mu[121] 161.07 0.01 0.34 160.63 161.08 161.50 2167 1
## mu[122] 151.14 0.01 0.33 150.72 151.14 151.56 1357 1
## mu[123] 158.67 0.01 0.35 158.21 158.67 159.12 1787 1
## mu[124] 149.61 0.01 0.31 149.21 149.61 150.01 1550 1
## mu[125] 155.72 0.01 0.51 155.07 155.71 156.37 1181 1
## mu[126] 151.00 0.01 0.33 150.58 150.99 151.41 1372 1
## mu[127] 143.36 0.01 0.51 142.71 143.36 144.03 1738 1
## mu[128] 165.59 0.01 0.49 164.96 165.61 166.22 1639 1
## mu[129] 156.48 0.02 0.55 155.78 156.47 157.18 1176 1
## mu[130] 146.11 0.01 0.39 145.62 146.10 146.62 1832 1
## mu[131] 160.52 0.01 0.34 160.09 160.53 160.95 2107 1
## mu[132] 165.72 0.01 0.50 165.08 165.74 166.36 1632 1
## mu[133] 149.71 0.01 0.31 149.30 149.70 150.10 1537 1
## mu[134] 161.38 0.01 0.35 160.93 161.39 161.82 2187 1
## mu[135] 152.56 0.01 0.37 152.10 152.56 153.03 1251 1
## mu[136] 168.83 0.02 0.66 167.97 168.84 169.67 1502 1
## mu[137] 160.62 0.01 0.34 160.18 160.62 161.04 2119 1
## mu[138] 149.42 0.02 0.79 148.40 149.43 150.46 1260 1
## mu[139] 145.35 0.01 0.42 144.82 145.34 145.89 1816 1
## mu[140] 158.47 0.01 0.36 158.01 158.47 158.92 1753 1
## mu[141] 150.85 0.01 0.32 150.44 150.85 151.27 1388 1
## mu[142] 151.92 0.01 0.35 151.48 151.92 152.37 1290 1
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## mu[144] 149.11 0.01 0.31 148.70 149.11 149.51 1622 1
## mu[145] 151.72 0.01 0.34 151.29 151.72 152.16 1305 1
## mu[146] 163.59 0.01 0.41 163.05 163.60 164.12 1901 1
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## mu[148] 147.78 0.01 0.33 147.35 147.78 148.22 1776 1
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## mu[150] 148.62 0.01 0.32 148.20 148.62 149.03 1688 1
## mu[151] 162.21 0.01 0.36 161.74 162.23 162.68 2161 1
## mu[152] 147.51 0.01 0.34 147.07 147.51 147.96 1796 1
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## log_lik[262] -2.39 0.00 0.04 -2.44 -2.39 -2.34 1873 1
## log_lik[263] -2.75 0.00 0.07 -2.84 -2.74 -2.66 1355 1
## log_lik[264] -2.38 0.00 0.04 -2.43 -2.38 -2.33 1850 1
## log_lik[265] -2.51 0.00 0.05 -2.58 -2.51 -2.45 2177 1
## log_lik[266] -3.16 0.00 0.10 -3.29 -3.16 -3.04 1382 1
## log_lik[267] -2.65 0.00 0.08 -2.76 -2.64 -2.55 1722 1
## log_lik[268] -2.38 0.00 0.04 -2.43 -2.38 -2.33 1838 1
## log_lik[269] -2.51 0.00 0.06 -2.60 -2.51 -2.43 1361 1
## log_lik[270] -2.47 0.00 0.05 -2.53 -2.46 -2.41 1697 1
## log_lik[271] -2.38 0.00 0.04 -2.43 -2.38 -2.33 1888 1
## log_lik[272] -2.38 0.00 0.04 -2.43 -2.38 -2.33 1759 1
## log_lik[273] -2.42 0.00 0.04 -2.48 -2.42 -2.36 1908 1
## log_lik[274] -3.63 0.00 0.18 -3.87 -3.63 -3.40 1376 1
## log_lik[275] -2.46 0.00 0.05 -2.52 -2.46 -2.41 1958 1
## log_lik[276] -2.38 0.00 0.04 -2.43 -2.38 -2.33 1916 1
## log_lik[277] -2.51 0.00 0.05 -2.58 -2.51 -2.45 1577 1
## log_lik[278] -2.38 0.00 0.04 -2.43 -2.38 -2.34 1910 1
## log_lik[279] -2.97 0.00 0.09 -3.09 -2.97 -2.86 1968 1
## log_lik[280] -3.05 0.00 0.09 -3.17 -3.05 -2.94 1756 1
## log_lik[281] -3.62 0.00 0.17 -3.84 -3.62 -3.41 1834 1
## log_lik[282] -2.47 0.00 0.06 -2.55 -2.46 -2.40 1317 1
## log_lik[283] -3.49 0.00 0.13 -3.67 -3.49 -3.33 1941 1
## log_lik[284] -2.45 0.00 0.04 -2.51 -2.45 -2.40 2251 1
## log_lik[285] -2.57 0.00 0.06 -2.66 -2.57 -2.49 1701 1
## log_lik[286] -3.14 0.00 0.12 -3.29 -3.14 -3.00 1535 1
## log_lik[287] -2.41 0.00 0.04 -2.47 -2.41 -2.36 1820 1
## log_lik[288] -2.40 0.00 0.04 -2.45 -2.40 -2.35 2047 1
## log_lik[289] -3.41 0.00 0.11 -3.55 -3.41 -3.26 1515 1
## log_lik[290] -2.38 0.00 0.04 -2.42 -2.38 -2.33 1908 1
## log_lik[291] -2.47 0.00 0.05 -2.53 -2.47 -2.41 1726 1
## log_lik[292] -2.39 0.00 0.04 -2.44 -2.39 -2.34 1821 1
## log_lik[293] -2.53 0.00 0.05 -2.60 -2.53 -2.47 2377 1
## log_lik[294] -2.42 0.00 0.04 -2.48 -2.42 -2.37 1643 1
## log_lik[295] -2.40 0.00 0.04 -2.46 -2.40 -2.35 1803 1
## log_lik[296] -2.47 0.00 0.05 -2.53 -2.46 -2.40 1952 1
## log_lik[297] -2.38 0.00 0.04 -2.43 -2.38 -2.34 1885 1
## log_lik[298] -3.64 0.00 0.17 -3.85 -3.63 -3.42 1342 1
## log_lik[299] -5.65 0.01 0.30 -6.04 -5.64 -5.27 2364 1
## log_lik[300] -2.40 0.00 0.04 -2.45 -2.40 -2.35 2030 1
## log_lik[301] -2.40 0.00 0.04 -2.45 -2.40 -2.35 1916 1
## log_lik[302] -3.23 0.00 0.11 -3.37 -3.23 -3.10 2276 1
## log_lik[303] -2.58 0.00 0.06 -2.66 -2.58 -2.51 1951 1
## log_lik[304] -2.53 0.00 0.05 -2.60 -2.53 -2.47 1798 1
## log_lik[305] -2.40 0.00 0.04 -2.46 -2.40 -2.35 1982 1
## log_lik[306] -2.80 0.00 0.09 -2.92 -2.80 -2.69 1860 1
## log_lik[307] -3.16 0.00 0.10 -3.29 -3.16 -3.03 2013 1
## log_lik[308] -2.49 0.00 0.04 -2.55 -2.49 -2.44 1708 1
## log_lik[309] -2.43 0.00 0.05 -2.50 -2.43 -2.37 1908 1
## log_lik[310] -2.58 0.00 0.07 -2.68 -2.58 -2.49 1140 1
## log_lik[311] -2.39 0.00 0.04 -2.43 -2.39 -2.34 1898 1
## log_lik[312] -2.39 0.00 0.04 -2.44 -2.39 -2.34 1834 1
## log_lik[313] -2.41 0.00 0.04 -2.46 -2.41 -2.36 1785 1
## log_lik[314] -2.41 0.00 0.04 -2.47 -2.41 -2.36 1448 1
## log_lik[315] -3.34 0.00 0.12 -3.50 -3.34 -3.19 1881 1
## log_lik[316] -2.44 0.00 0.04 -2.50 -2.44 -2.39 1615 1
## log_lik[317] -15.38 0.02 1.03 -16.76 -15.37 -14.10 1956 1
## log_lik[318] -3.31 0.00 0.12 -3.46 -3.30 -3.16 1311 1
## log_lik[319] -2.43 0.00 0.05 -2.49 -2.43 -2.37 1889 1
## log_lik[320] -3.33 0.00 0.10 -3.46 -3.33 -3.19 1678 1
## log_lik[321] -2.38 0.00 0.04 -2.42 -2.38 -2.33 1918 1
## log_lik[322] -4.24 0.01 0.24 -4.56 -4.24 -3.94 1373 1
## log_lik[323] -2.39 0.00 0.04 -2.44 -2.39 -2.34 2019 1
## log_lik[324] -2.63 0.00 0.06 -2.72 -2.63 -2.55 2104 1
## log_lik[325] -2.84 0.00 0.07 -2.93 -2.84 -2.75 1429 1
## log_lik[326] -4.21 0.00 0.21 -4.49 -4.21 -3.94 1836 1
## log_lik[327] -4.40 0.00 0.18 -4.64 -4.40 -4.18 1713 1
## log_lik[328] -2.96 0.00 0.09 -3.08 -2.96 -2.85 1971 1
## log_lik[329] -3.13 0.00 0.12 -3.29 -3.12 -2.97 1510 1
## log_lik[330] -2.42 0.00 0.05 -2.49 -2.42 -2.36 1330 1
## log_lik[331] -2.89 0.00 0.09 -3.02 -2.89 -2.77 1548 1
## log_lik[332] -3.57 0.00 0.16 -3.77 -3.56 -3.37 2014 1
## log_lik[333] -2.38 0.00 0.04 -2.43 -2.38 -2.33 1835 1
## log_lik[334] -3.35 0.00 0.16 -3.56 -3.34 -3.14 1448 1
## log_lik[335] -2.91 0.00 0.08 -3.02 -2.91 -2.82 1449 1
## log_lik[336] -2.69 0.00 0.07 -2.79 -2.69 -2.60 2039 1
## log_lik[337] -2.40 0.00 0.04 -2.45 -2.40 -2.35 1928 1
## log_lik[338] -2.45 0.00 0.04 -2.50 -2.44 -2.39 1802 1
## log_lik[339] -2.60 0.00 0.07 -2.69 -2.60 -2.52 1961 1
## log_lik[340] -2.56 0.00 0.05 -2.63 -2.56 -2.50 1551 1
## log_lik[341] -2.38 0.00 0.04 -2.43 -2.38 -2.33 1831 1
## log_lik[342] -2.55 0.00 0.06 -2.63 -2.55 -2.48 1834 1
## log_lik[343] -3.14 0.00 0.10 -3.26 -3.13 -3.02 1374 1
## log_lik[344] -2.39 0.00 0.04 -2.44 -2.39 -2.34 1840 1
## log_lik[345] -2.48 0.00 0.05 -2.54 -2.48 -2.42 1639 1
## log_lik[346] -2.39 0.00 0.04 -2.44 -2.39 -2.34 1570 1
## log_lik[347] -2.71 0.00 0.06 -2.79 -2.71 -2.64 1742 1
## log_lik[348] -4.95 0.01 0.26 -5.29 -4.95 -4.62 1343 1
## log_lik[349] -2.47 0.00 0.05 -2.54 -2.46 -2.40 1666 1
## log_lik[350] -2.38 0.00 0.04 -2.42 -2.38 -2.33 1879 1
## log_lik[351] -2.42 0.00 0.05 -2.49 -2.41 -2.35 1113 1
## log_lik[352] -2.85 0.00 0.09 -2.96 -2.84 -2.74 2055 1
## lp__ -689.37 0.05 1.42 -691.22 -689.07 -687.86 818 1
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Fri Nov 22 17:58:53 2019.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).
summary(lm(height~weight.z+male,data=howell2))
##
## Call:
## lm(formula = height ~ weight.z + male, data = howell2)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -21.7859 -2.5506 0.4669 2.6278 14.1486
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 151.5501 0.3391 446.98 <2e-16 ***
## weight.z 4.1399 0.2678 15.46 <2e-16 ***
## male 6.5003 0.5359 12.13 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 4.272 on 349 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.6973, Adjusted R-squared: 0.6955
## F-statistic: 401.9 on 2 and 349 DF, p-value: < 2.2e-16
howell1$male <- ifelse(howell1$male==1,2,1)
m8.1.data <- list(N = nrow(howell1), height = howell1$height, weight = howell1$weight.z, male = as.integer(howell1$male), n = length(unique(howell1$male)))
data { // observed variables
int<lower=1> N; // number of observations
vector[N] height; // response variables
vector[N] weight; // predictor (previously centered)
int<lower=0> n;
int<lower=1,upper=n> male[N];
}
parameters { // unobserved variables
real beta[2]; // parameters: intercept and slope
vector[n] alpha;
real sigma;
}
transformed parameters {
vector[N] mu; // create one variable with predictions for each obs
for (i in 1:N) // loop for all cases
mu[i] = alpha[male[i]] + beta[1]*weight[i] + beta[2]*(weight[i] .* weight[i]);
}
model {
height ~ normal(mu,sigma); // likelihood
alpha ~ normal(178, 100); // prior of the intercept
beta[1] ~ normal(0, 100); // prior of the slope
beta[2] ~ normal(0, 100);
sigma ~ uniform(0,50);
}
fit.m8.1 <- sampling(m8.1, data = m8.1.data, iter = 1000, chains = 4, cores = 4)
## Warning: There were 275 divergent transitions after warmup. Increasing adapt_delta above 0.8 may help. See
## http://mc-stan.org/misc/warnings.html#divergent-transitions-after-warmup
## Warning: There were 1 chains where the estimated Bayesian Fraction of Missing Information was low. See
## http://mc-stan.org/misc/warnings.html#bfmi-low
## Warning: Examine the pairs() plot to diagnose sampling problems
print(fit.m8.1, probs = c(0.10, 0.5, 0.9))
## Inference for Stan model: 7f6f4063a593c9d5515aafcd1d091662.
## 4 chains, each with iter=1000; warmup=500; thin=1;
## post-warmup draws per chain=500, total post-warmup draws=2000.
##
## mean se_mean sd 10% 50% 90% n_eff Rhat
## beta[1] 20.80 0.07 1.04 20.16 20.73 21.32 222 1.03
## beta[2] -8.91 0.12 1.56 -9.56 -9.06 -8.31 179 1.04
## alpha[1] 144.86 0.27 3.24 143.62 145.26 145.89 142 1.04
## alpha[2] 149.38 0.18 2.32 148.37 149.56 150.49 166 1.04
## sigma 9.95 5.57 8.49 5.22 5.48 21.35 2 3.03
## mu[1] 160.50 0.05 0.93 159.77 160.53 161.23 366 1.00
## mu[2] 146.06 0.27 3.19 144.87 146.47 147.08 140 1.04
## mu[3] 138.99 0.28 3.35 137.77 139.39 140.05 145 1.04
## mu[4] 161.52 0.08 1.40 160.52 161.41 162.48 325 1.02
## mu[5] 151.54 0.28 2.74 150.43 151.89 152.47 99 1.04
## mu[6] 157.25 0.36 4.98 154.89 156.77 159.34 195 1.04
## mu[7] 148.29 0.26 3.06 147.16 148.67 149.29 137 1.04
## mu[8] 161.23 0.13 2.09 159.98 161.03 162.50 272 1.03
## mu[9] 143.79 0.27 3.28 142.55 144.20 144.83 143 1.04
## mu[10] 161.40 0.10 1.79 160.24 161.24 162.49 291 1.03
## mu[11] 156.66 0.14 1.53 155.59 156.84 157.58 121 1.04
## mu[12] 156.01 0.14 1.80 155.05 156.15 156.93 176 1.03
## mu[13] 145.45 0.27 3.22 144.24 145.85 146.47 141 1.04
## mu[14] 155.93 0.18 1.82 154.99 156.16 156.81 105 1.04
## mu[15] 142.24 0.28 3.32 141.02 142.65 143.29 144 1.04
## mu[16] 160.78 0.04 0.88 160.04 160.79 161.53 412 1.00
## mu[17] 157.01 0.12 1.66 156.11 157.13 157.90 183 1.03
## mu[18] 148.43 0.26 3.05 147.30 148.81 149.42 137 1.04
## mu[19] 116.26 0.13 1.69 115.29 116.36 117.32 173 1.03
## mu[20] 94.95 0.09 1.61 93.99 95.08 95.95 328 1.02
## mu[21] 83.41 0.05 1.40 82.34 83.46 84.61 755 1.00
## mu[22] 160.92 0.04 0.87 160.16 160.93 161.67 436 1.00
## mu[23] 152.83 0.29 2.56 151.78 153.15 153.73 78 1.04
## mu[24] 126.44 0.16 2.10 125.47 126.60 127.53 166 1.03
## mu[25] 101.30 0.12 1.91 100.20 101.50 102.25 267 1.03
## mu[26] 149.21 0.18 2.33 148.20 149.39 150.33 166 1.04
## mu[27] 147.88 0.26 3.09 146.80 148.26 148.88 138 1.04
## mu[28] 144.65 0.27 3.25 143.40 145.06 145.69 142 1.04
## mu[29] 134.85 0.18 2.36 133.88 135.02 135.99 165 1.04
## mu[30] 119.71 0.22 2.85 118.51 120.04 120.72 161 1.04
## mu[31] 111.34 0.11 1.50 110.34 111.39 112.36 180 1.02
## mu[32] 155.11 0.15 1.91 154.11 155.26 156.06 173 1.03
## mu[33] 161.30 0.12 1.97 160.08 161.12 162.47 281 1.03
## mu[34] 147.39 0.27 3.12 146.28 147.78 148.39 139 1.04
## mu[35] 148.60 0.26 3.04 147.47 148.97 149.59 136 1.04
## mu[36] 155.43 0.21 1.99 154.48 155.67 156.30 92 1.04
## mu[37] 148.99 0.26 3.01 147.87 149.36 149.97 135 1.04
## mu[38] 144.81 0.27 3.24 143.57 145.22 145.85 142 1.04
## mu[39] 155.80 0.18 1.86 154.88 156.03 156.68 103 1.04
## mu[40] 160.53 0.05 0.92 159.79 160.55 161.25 369 1.00
## mu[41] 161.05 0.04 0.87 160.26 161.05 161.80 452 1.00
## mu[42] 161.04 0.04 0.87 160.26 161.04 161.80 452 1.00
## mu[43] 160.94 0.16 2.44 159.58 160.71 162.31 240 1.03
## mu[44] 149.31 0.26 2.98 148.21 149.68 150.29 135 1.04
## mu[45] 156.66 0.14 1.53 155.59 156.84 157.58 121 1.04
## mu[46] 133.33 0.27 3.30 132.11 133.72 134.41 147 1.04
## mu[47] 118.40 0.14 1.78 117.41 118.52 119.49 171 1.03
## mu[48] 121.38 0.23 2.92 120.18 121.71 122.39 158 1.04
## mu[49] 92.76 0.08 1.53 91.78 92.87 93.80 367 1.02
## mu[50] 156.04 0.14 1.80 155.08 156.17 156.95 176 1.03
## mu[51] 148.66 0.26 3.03 147.53 149.04 149.65 136 1.04
## mu[52] 157.08 0.12 1.65 156.18 157.20 157.96 183 1.03
## mu[53] 158.79 0.09 1.33 157.98 158.87 159.61 220 1.02
## mu[54] 122.55 0.15 1.95 121.55 122.70 123.63 168 1.03
## mu[55] 99.57 0.11 1.82 98.53 99.75 100.53 280 1.03
## mu[56] 91.09 0.07 1.48 90.10 91.19 92.14 408 1.01
## mu[57] 160.14 0.22 3.17 158.49 159.83 161.66 216 1.04
## mu[58] 155.48 0.20 1.97 154.53 155.72 156.36 94 1.04
## mu[59] 153.98 0.29 2.35 152.97 154.27 154.86 65 1.04
## mu[60] 156.85 0.12 1.44 155.70 157.01 157.83 156 1.04
## mu[61] 156.91 0.12 1.56 155.46 156.96 158.17 157 1.04
## mu[62] 159.56 0.07 1.15 158.84 159.62 160.32 278 1.02
## mu[63] 156.06 0.17 1.77 155.15 156.28 156.95 106 1.04
## mu[64] 161.51 0.06 1.21 160.60 161.43 162.43 351 1.02
## mu[65] 155.90 0.18 1.83 154.96 156.13 156.77 104 1.04
## mu[66] 154.90 0.25 2.13 153.89 155.17 155.76 75 1.04
## mu[67] 152.57 0.29 2.60 151.55 152.89 153.47 82 1.04
## mu[68] 150.58 0.18 2.26 149.56 150.76 151.66 166 1.03
## mu[69] 161.12 0.14 2.23 159.82 160.91 162.43 256 1.03
## mu[70] 146.99 0.27 3.14 145.86 147.39 147.99 139 1.04
## mu[71] 128.72 0.17 2.18 127.74 128.89 129.82 166 1.03
## mu[72] 126.65 0.25 3.12 125.40 127.02 127.71 150 1.04
## mu[73] 160.69 0.04 0.89 159.95 160.71 161.43 396 1.00
## mu[74] 147.17 0.27 3.13 146.05 147.57 148.17 139 1.04
## mu[75] 134.87 0.27 3.33 133.66 135.26 135.95 147 1.04
## mu[76] 160.22 0.05 0.99 159.50 160.26 160.93 331 1.01
## mu[77] 155.75 0.19 1.88 154.81 155.98 156.63 102 1.04
## mu[78] 96.17 0.09 1.33 95.09 96.11 97.18 226 1.02
## mu[79] 160.59 0.19 2.79 159.10 160.33 162.04 226 1.04
## mu[80] 147.92 0.26 3.09 146.83 148.30 148.91 138 1.04
## mu[81] 152.12 0.28 2.67 151.06 152.45 153.03 89 1.04
## mu[82] 130.87 0.27 3.25 129.58 131.24 131.94 148 1.04
## mu[83] 155.71 0.19 1.89 154.77 155.95 156.59 102 1.04
## mu[84] 157.74 0.11 1.54 156.89 157.84 158.59 191 1.03
## mu[85] 161.26 0.04 0.92 160.47 161.23 162.03 446 1.00
## mu[86] 149.60 0.26 2.95 148.49 149.96 150.56 134 1.04
## mu[87] 110.19 0.11 1.46 109.17 110.24 111.20 183 1.02
## mu[88] 161.34 0.05 0.96 160.53 161.30 162.13 428 1.01
## mu[89] 149.66 0.26 2.95 148.55 150.02 150.62 134 1.04
## mu[90] 145.79 0.27 3.20 144.60 146.20 146.82 141 1.04
## mu[91] 159.77 0.06 1.10 159.04 159.82 160.51 292 1.01
## mu[92] 152.44 0.29 2.62 151.43 152.77 153.35 83 1.04
## mu[93] 160.42 0.05 0.95 159.69 160.46 161.14 354 1.01
## mu[94] 161.17 0.13 2.16 159.90 160.96 162.48 264 1.03
## mu[95] 109.55 0.16 2.34 108.38 109.81 110.50 204 1.03
## mu[96] 160.78 0.04 0.88 160.04 160.79 161.53 412 1.00
## mu[97] 152.90 0.29 2.55 151.85 153.22 153.80 77 1.04
## mu[98] 144.08 0.27 3.27 142.82 144.49 145.11 143 1.04
## mu[99] 111.42 0.11 1.50 110.42 111.47 112.44 180 1.03
## mu[100] 156.36 0.16 2.08 154.59 156.33 157.82 160 1.04
## mu[101] 135.09 0.18 2.36 134.12 135.26 136.23 164 1.04
## mu[102] 156.90 0.11 1.42 155.76 157.05 157.89 157 1.04
## mu[103] 160.25 0.05 0.99 159.52 160.29 160.96 334 1.01
## mu[104] 151.22 0.27 2.79 150.10 151.57 152.15 105 1.04
## mu[105] 140.42 0.28 3.34 139.19 140.83 141.48 145 1.04
## mu[106] 160.77 0.17 2.62 159.34 160.53 162.17 232 1.04
## mu[107] 157.56 0.11 1.57 156.70 157.67 158.42 189 1.03
## mu[108] 150.21 0.26 2.90 149.06 150.57 151.16 124 1.04
## mu[109] 140.00 0.28 3.35 138.77 140.40 141.06 145 1.04
## mu[110] 109.20 0.11 1.43 108.15 109.24 110.21 185 1.02
## mu[111] 107.35 0.10 1.38 106.30 107.39 108.37 190 1.02
## mu[112] 159.59 0.07 1.15 158.87 159.65 160.35 280 1.02
## mu[113] 151.38 0.27 2.77 150.28 151.73 152.31 102 1.04
## mu[114] 107.95 0.15 2.26 106.82 108.19 108.90 219 1.03
## mu[115] 103.04 0.09 1.29 102.01 103.05 104.06 206 1.02
## mu[116] 91.34 0.09 1.49 90.22 91.24 92.40 249 1.02
## mu[117] 160.41 0.05 0.95 159.68 160.44 161.12 353 1.01
## mu[118] 147.39 0.27 3.12 146.28 147.78 148.39 139 1.04
## mu[119] 159.03 0.08 1.28 158.25 159.11 159.83 234 1.02
## mu[120] 152.44 0.29 2.62 151.43 152.77 153.35 83 1.04
## mu[121] 161.35 0.11 1.90 160.16 161.17 162.50 285 1.03
## mu[122] 161.50 0.09 1.52 160.45 161.37 162.50 311 1.03
## mu[123] 161.51 0.06 1.21 160.60 161.43 162.42 352 1.02
## mu[124] 85.35 0.12 1.81 84.11 85.17 86.60 210 1.02
## mu[125] 152.57 0.29 2.60 151.55 152.89 153.47 82 1.04
## mu[126] 156.58 0.15 1.56 155.55 156.76 157.50 115 1.04
## mu[127] 96.73 0.09 1.32 95.66 96.67 97.74 226 1.02
## mu[128] 156.48 0.13 1.74 155.55 156.62 157.38 179 1.03
## mu[129] 161.09 0.14 2.26 159.79 160.88 162.42 253 1.03
## mu[130] 152.35 0.29 2.63 151.33 152.68 153.25 85 1.04
## mu[131] 111.12 0.17 2.42 109.94 111.39 112.07 193 1.03
## mu[132] 103.04 0.09 1.29 102.01 103.05 104.06 206 1.02
## mu[133] 161.52 0.08 1.41 160.51 161.41 162.48 323 1.02
## mu[134] 161.25 0.04 0.91 160.46 161.23 162.03 447 1.00
## mu[135] 152.66 0.29 2.59 151.64 152.99 153.56 80 1.04
## mu[136] 160.96 0.04 0.87 160.19 160.96 161.71 441 1.00
## mu[137] 148.60 0.26 3.04 147.47 148.97 149.59 136 1.04
## mu[138] 156.63 0.14 1.54 155.57 156.82 157.56 119 1.04
## mu[139] 138.85 0.19 2.43 137.86 139.04 140.00 164 1.04
## mu[140] 159.53 0.25 3.62 157.70 159.17 161.18 208 1.04
## mu[141] 87.59 0.06 1.41 86.58 87.67 88.70 538 1.01
## mu[142] 160.55 0.05 0.92 159.82 160.58 161.27 372 1.00
## mu[143] 149.50 0.26 2.96 148.41 149.87 150.47 134 1.04
## mu[144] 152.67 0.16 2.13 151.67 152.84 153.71 168 1.03
## mu[145] 118.01 0.22 2.77 116.79 118.33 119.00 164 1.04
## mu[146] 146.59 0.27 3.16 145.42 146.99 147.59 140 1.04
## mu[147] 152.32 0.29 2.64 151.30 152.65 153.23 85 1.04
## mu[148] 112.21 0.18 2.48 111.00 112.48 113.18 186 1.04
## mu[149] 108.20 0.10 1.40 107.14 108.23 109.21 188 1.02
## mu[150] 158.73 0.09 1.34 157.92 158.81 159.55 218 1.02
## mu[151] 156.00 0.18 1.80 155.08 156.22 156.88 105 1.04
## mu[152] 115.90 0.20 2.67 114.70 116.20 116.90 170 1.04
## mu[153] 114.28 0.12 1.61 113.32 114.36 115.32 175 1.03
## mu[154] 161.28 0.12 2.00 160.05 161.10 162.47 280 1.03
## mu[155] 140.89 0.28 3.34 139.65 141.29 141.94 145 1.04
## mu[156] 151.16 0.27 2.79 150.04 151.51 152.10 106 1.04
## mu[157] 92.76 0.08 1.53 91.78 92.87 93.80 367 1.02
## mu[158] 161.42 0.05 1.03 160.57 161.36 162.24 402 1.01
## mu[159] 160.94 0.04 0.87 160.17 160.95 161.69 439 1.00
## mu[160] 156.99 0.12 1.46 155.63 157.07 158.15 158 1.04
## mu[161] 161.45 0.10 1.68 160.35 161.31 162.52 298 1.03
## mu[162] 161.25 0.12 2.05 160.00 161.06 162.49 277 1.03
## mu[163] 152.42 0.29 2.62 151.41 152.75 153.32 84 1.04
## mu[164] 118.93 0.22 2.81 117.72 119.26 119.94 162 1.04
## mu[165] 151.22 0.27 2.79 150.10 151.57 152.15 105 1.04
## mu[166] 161.12 0.04 0.88 160.35 161.11 161.90 456 1.00
## mu[167] 154.06 0.29 2.33 153.06 154.34 154.93 65 1.04
## mu[168] 159.59 0.07 1.15 158.87 159.65 160.35 280 1.02
## mu[169] 152.17 0.28 2.66 151.13 152.50 153.08 88 1.04
## mu[170] 156.93 0.11 1.41 155.77 157.07 157.94 157 1.04
## mu[171] 91.09 0.07 1.48 90.10 91.19 92.14 408 1.01
## mu[172] 91.93 0.08 1.51 90.95 92.03 92.97 386 1.01
## mu[173] 153.90 0.29 2.36 152.88 154.19 154.78 65 1.04
## mu[174] 139.57 0.28 3.35 138.35 139.97 140.63 145 1.04
## mu[175] 160.88 0.16 2.51 159.49 160.64 162.26 237 1.03
## mu[176] 157.00 0.11 1.41 155.75 157.11 158.12 159 1.04
## mu[177] 146.06 0.27 3.19 144.87 146.47 147.08 140 1.04
## mu[178] 160.88 0.04 0.87 160.12 160.89 161.63 428 1.00
## mu[179] 160.81 0.17 2.58 159.40 160.57 162.20 234 1.04
## mu[180] 152.30 0.29 2.64 151.27 152.63 153.20 86 1.04
## mu[181] 161.24 0.04 0.91 160.46 161.22 162.02 449 1.00
## mu[182] 155.40 0.21 1.99 154.46 155.64 156.27 91 1.04
## mu[183] 158.19 0.32 4.46 156.05 157.74 160.11 199 1.04
## mu[184] 160.92 0.04 0.87 160.16 160.93 161.67 436 1.00
## mu[185] 142.91 0.19 2.45 141.95 143.12 144.07 165 1.04
## mu[186] 139.57 0.28 3.35 138.35 139.97 140.63 145 1.04
## mu[187] 122.33 0.24 2.96 121.12 122.67 123.36 156 1.04
## mu[188] 128.39 0.17 2.17 127.41 128.56 129.48 166 1.03
## mu[189] 121.29 0.15 1.90 120.28 121.43 122.38 169 1.03
## mu[190] 144.41 0.27 3.26 143.15 144.82 145.44 142 1.04
## mu[191] 159.42 0.07 1.19 158.69 159.48 160.18 270 1.02
## mu[192] 153.74 0.29 2.40 152.72 154.03 154.62 67 1.04
## mu[193] 154.85 0.25 2.15 153.84 155.12 155.71 74 1.04
## mu[194] 149.18 0.26 2.99 148.08 149.55 150.16 135 1.04
## mu[195] 151.44 0.27 2.76 150.33 151.78 152.37 101 1.04
## mu[196] 92.30 0.08 1.52 91.33 92.41 93.34 377 1.01
## mu[197] 154.66 0.26 2.19 153.70 154.93 155.53 71 1.04
## mu[198] 161.49 0.09 1.55 160.43 161.36 162.51 308 1.03
## mu[199] 156.99 0.11 1.40 155.75 157.11 158.06 158 1.04
## mu[200] 112.71 0.12 1.55 111.73 112.78 113.76 178 1.03
## mu[201] 98.84 0.09 1.29 97.80 98.80 99.85 223 1.02
## mu[202] 149.28 0.26 2.98 148.18 149.65 150.26 135 1.04
## mu[203] 94.86 0.09 1.36 93.78 94.79 95.88 231 1.02
## mu[204] 159.45 0.07 1.18 158.72 159.51 160.21 272 1.02
## mu[205] 150.68 0.27 2.85 149.56 151.03 151.62 115 1.04
## mu[206] 161.45 0.05 1.07 160.59 161.39 162.32 386 1.01
## mu[207] 148.79 0.26 3.02 147.67 149.17 149.78 136 1.04
## mu[208] 153.96 0.16 2.03 152.95 154.12 154.94 170 1.03
## mu[209] 154.06 0.29 2.33 153.06 154.34 154.93 65 1.04
## mu[210] 154.27 0.15 2.00 153.24 154.43 155.24 170 1.03
## mu[211] 137.59 0.28 3.35 136.38 137.99 138.66 146 1.04
## mu[212] 155.51 0.20 1.96 154.56 155.75 156.38 95 1.04
## mu[213] 119.29 0.22 2.83 118.08 119.61 120.29 161 1.04
## mu[214] 155.43 0.14 1.87 154.44 155.57 156.37 174 1.03
## mu[215] 161.24 0.04 0.91 160.46 161.22 162.02 449 1.00
## mu[216] 151.54 0.28 2.74 150.43 151.89 152.47 99 1.04
## mu[217] 110.52 0.11 1.47 109.51 110.57 111.54 182 1.02
## mu[218] 161.39 0.11 1.82 160.22 161.22 162.51 289 1.03
## mu[219] 154.50 0.27 2.23 153.50 154.77 155.36 68 1.04
## mu[220] 154.33 0.28 2.27 153.31 154.61 155.20 66 1.04
## mu[221] 100.91 0.09 1.28 99.89 100.90 101.93 215 1.02
## mu[222] 114.70 0.12 1.63 113.74 114.79 115.74 175 1.03
## mu[223] 149.65 0.18 2.31 148.64 149.83 150.75 166 1.04
## mu[224] 159.16 0.08 1.25 158.39 159.23 159.94 245 1.02
## mu[225] 160.62 0.05 0.91 159.88 160.64 161.34 383 1.00
## mu[226] 154.91 0.25 2.13 153.91 155.18 155.78 76 1.04
## mu[227] 119.45 0.14 1.82 118.46 119.58 120.55 170 1.03
## mu[228] 160.73 0.04 0.89 159.99 160.75 161.47 403 1.00
## mu[229] 151.46 0.28 2.75 150.36 151.81 152.39 100 1.04
## mu[230] 148.50 0.26 3.04 147.37 148.87 149.49 136 1.04
## mu[231] 152.32 0.29 2.64 151.30 152.65 153.23 85 1.04
## mu[232] 106.25 0.14 2.17 105.13 106.47 107.19 233 1.03
## mu[233] 148.29 0.26 3.06 147.16 148.67 149.29 137 1.04
## mu[234] 160.70 0.04 0.89 159.96 160.71 161.44 397 1.00
## mu[235] 149.09 0.26 3.00 147.97 149.46 150.07 135 1.04
## mu[236] 154.82 0.15 1.94 153.82 154.97 155.77 172 1.03
## mu[237] 156.73 0.13 1.50 155.64 156.90 157.65 130 1.04
## mu[238] 161.43 0.10 1.73 160.30 161.27 162.53 294 1.03
## mu[239] 154.87 0.25 2.14 153.86 155.14 155.73 75 1.04
## mu[240] 151.05 0.27 2.80 149.92 151.40 151.99 108 1.04
## mu[241] 129.92 0.27 3.22 128.64 130.29 130.99 148 1.04
## mu[242] 149.66 0.26 2.95 148.55 150.02 150.62 134 1.04
## mu[243] 114.11 0.19 2.58 112.87 114.40 115.10 177 1.04
## mu[244] 157.74 0.11 1.54 156.89 157.84 158.59 191 1.03
## mu[245] 138.99 0.28 3.35 137.77 139.39 140.05 145 1.04
## mu[246] 119.67 0.14 1.83 118.68 119.80 120.77 170 1.03
## mu[247] 159.30 0.08 1.22 158.56 159.36 160.07 259 1.02
## mu[248] 148.05 0.26 3.08 146.96 148.43 149.05 137 1.04
## mu[249] 101.30 0.12 1.91 100.20 101.50 102.25 267 1.03
## mu[250] 145.52 0.27 3.22 144.32 145.93 146.55 141 1.04
## mu[251] 151.16 0.27 2.79 150.04 151.51 152.10 106 1.04
## mu[252] 160.54 0.05 0.92 159.81 160.56 161.26 371 1.00
## mu[253] 160.46 0.05 0.94 159.73 160.49 161.18 359 1.01
## mu[254] 155.31 0.22 2.02 154.37 155.56 156.19 88 1.04
## mu[255] 155.96 0.14 1.81 154.99 156.09 156.88 176 1.03
## mu[256] 146.21 0.27 3.18 145.02 146.62 147.23 140 1.04
## mu[257] 157.65 0.11 1.55 156.80 157.75 158.51 190 1.03
## mu[258] 160.63 0.05 0.90 159.89 160.65 161.35 385 1.00
## mu[259] 146.36 0.27 3.18 145.18 146.77 147.37 140 1.04
## mu[260] 160.94 0.16 2.44 159.58 160.71 162.31 240 1.03
## mu[261] 148.83 0.26 3.02 147.70 149.20 149.81 136 1.04
## mu[262] 160.36 0.05 0.96 159.63 160.40 161.06 346 1.01
## mu[263] 145.68 0.27 3.21 144.48 146.09 146.70 141 1.04
## mu[264] 96.04 0.09 1.66 95.06 96.18 97.01 313 1.02
## mu[265] 151.54 0.28 2.74 150.43 151.89 152.47 99 1.04
## mu[266] 98.96 0.11 1.79 97.91 99.14 99.92 285 1.03
## mu[267] 154.35 0.28 2.27 153.34 154.63 155.22 66 1.04
## mu[268] 161.29 0.04 0.93 160.49 161.26 162.07 439 1.00
## mu[269] 161.27 0.12 2.03 160.03 161.08 162.50 279 1.03
## mu[270] 147.92 0.26 3.09 146.83 148.30 148.91 138 1.04
## mu[271] 149.21 0.18 2.33 148.20 149.39 150.33 166 1.04
## mu[272] 160.21 0.21 3.12 158.57 159.90 161.72 217 1.04
## mu[273] 116.70 0.21 2.71 115.49 117.01 117.70 167 1.04
## mu[274] 154.12 0.29 2.32 153.11 154.40 154.99 65 1.04
## mu[275] 158.62 0.09 1.37 157.81 158.70 159.45 213 1.02
## mu[276] 154.22 0.28 2.30 153.20 154.50 155.09 66 1.04
## mu[277] 158.77 0.09 1.33 157.96 158.85 159.59 219 1.02
## mu[278] 150.77 0.27 2.84 149.63 151.12 151.71 113 1.04
## mu[279] 153.88 0.29 2.37 152.86 154.17 154.76 66 1.04
## mu[280] 123.87 0.24 3.02 122.65 124.21 124.91 154 1.04
## mu[281] 143.11 0.28 3.30 141.87 143.52 144.16 143 1.04
## mu[282] 140.51 0.28 3.34 139.28 140.92 141.57 145 1.04
## mu[283] 145.33 0.27 3.22 144.11 145.74 146.36 141 1.04
## mu[284] 161.09 0.04 0.87 160.31 161.08 161.86 455 1.00
## mu[285] 161.51 0.08 1.44 160.50 161.40 162.49 321 1.02
## mu[286] 151.36 0.17 2.22 150.36 151.54 152.43 167 1.03
## mu[287] 150.80 0.27 2.83 149.67 151.15 151.74 113 1.04
## mu[288] 161.32 0.05 0.95 160.51 161.29 162.11 432 1.00
## mu[289] 158.32 0.10 1.43 157.50 158.40 159.15 203 1.03
## mu[290] 142.15 0.28 3.32 140.93 142.56 143.20 144 1.04
## mu[291] 116.41 0.21 2.69 115.20 116.72 117.41 168 1.04
## mu[292] 103.34 0.13 2.01 102.29 103.56 104.29 250 1.03
## mu[293] 161.17 0.04 0.89 160.40 161.16 161.94 455 1.00
## mu[294] 141.84 0.28 3.32 140.61 142.25 142.89 144 1.04
## mu[295] 158.23 0.10 1.44 157.41 158.32 159.07 201 1.03
## mu[296] 156.11 0.17 1.76 155.18 156.32 156.99 107 1.04
## mu[297] 152.85 0.29 2.56 151.81 153.18 153.75 77 1.04
## mu[298] 148.26 0.18 2.36 147.24 148.46 149.39 165 1.04
## mu[299] 123.14 0.24 2.99 121.92 123.48 124.17 155 1.04
## mu[300] 142.33 0.28 3.31 141.11 142.74 143.38 144 1.04
## mu[301] 88.83 0.06 1.43 87.83 88.91 89.92 484 1.01
## mu[302] 151.54 0.28 2.74 150.43 151.89 152.47 99 1.04
## mu[303] 154.49 0.15 1.98 153.47 154.64 155.45 171 1.03
## mu[304] 145.33 0.27 3.22 144.11 145.74 146.36 141 1.04
## mu[305] 161.37 0.05 0.99 160.55 161.33 162.17 417 1.01
## mu[306] 154.96 0.24 2.12 154.00 155.23 155.83 77 1.04
## mu[307] 125.82 0.25 3.09 124.58 126.18 126.87 151 1.04
## mu[308] 99.31 0.11 1.81 98.26 99.49 100.27 282 1.03
## mu[309] 156.47 0.15 1.61 155.49 156.67 157.38 112 1.04
## mu[310] 160.03 0.22 3.26 158.35 159.71 161.57 214 1.04
## mu[311] 153.42 0.29 2.46 152.40 153.73 154.31 70 1.04
## mu[312] 111.26 0.11 1.50 110.25 111.31 112.28 180 1.02
## mu[313] 161.49 0.06 1.16 160.61 161.42 162.39 362 1.02
## mu[314] 161.34 0.05 0.96 160.53 161.30 162.13 428 1.01
## mu[315] 142.85 0.28 3.30 141.62 143.26 143.90 144 1.04
## mu[316] 149.60 0.26 2.95 148.49 149.96 150.56 134 1.04
## mu[317] 159.64 0.24 3.54 157.85 159.29 161.26 209 1.04
## mu[318] 155.11 0.15 1.91 154.11 155.26 156.06 173 1.03
## mu[319] 161.50 0.06 1.20 160.60 161.43 162.42 353 1.02
## mu[320] 150.24 0.26 2.89 149.08 150.60 151.19 124 1.04
## mu[321] 158.30 0.10 1.43 157.48 158.38 159.13 203 1.03
## mu[322] 156.87 0.13 1.61 155.40 156.91 158.17 156 1.04
## mu[323] 154.55 0.27 2.22 153.58 154.83 155.42 69 1.04
## mu[324] 91.25 0.09 1.49 90.13 91.15 92.30 249 1.02
## mu[325] 92.30 0.09 1.45 91.21 92.21 93.34 242 1.02
## mu[326] 66.57 0.10 2.19 65.06 66.45 68.29 449 1.02
## mu[327] 93.45 0.09 1.41 92.37 93.36 94.48 235 1.02
## mu[328] 108.12 0.15 2.27 106.97 108.36 109.06 217 1.03
## mu[329] 86.44 0.06 1.40 85.41 86.51 87.58 594 1.01
## mu[330] 151.60 0.28 2.74 150.48 151.94 152.52 98 1.04
## mu[331] 102.07 0.12 1.95 100.98 102.27 103.02 260 1.03
## mu[332] 70.04 0.08 1.95 68.64 69.95 71.65 541 1.02
## mu[333] 92.69 0.09 1.43 91.60 92.60 93.73 240 1.02
## mu[334] 98.17 0.10 1.75 97.13 98.34 99.14 292 1.02
## mu[335] 85.75 0.12 1.78 84.52 85.58 86.99 216 1.02
## mu[336] 152.12 0.28 2.67 151.06 152.45 153.03 89 1.04
## mu[337] 157.18 0.12 1.63 156.29 157.30 158.06 184 1.03
## mu[338] 137.96 0.19 2.42 136.99 138.14 139.11 164 1.04
## mu[339] 91.19 0.07 1.48 90.20 91.28 92.23 405 1.01
## mu[340] 157.69 0.11 1.55 156.84 157.80 158.55 190 1.03
## mu[341] 151.11 0.27 2.80 149.98 151.46 152.04 107 1.04
## mu[342] 157.46 0.12 1.58 156.60 157.57 158.34 187 1.03
## mu[343] 155.22 0.22 2.05 154.25 155.47 156.10 84 1.04
## mu[344] 114.33 0.20 2.59 113.11 114.63 115.32 176 1.04
## mu[345] 100.96 0.12 1.89 99.86 101.15 101.90 270 1.03
## mu[346] 160.52 0.05 0.93 159.78 160.54 161.25 367 1.00
## mu[347] 152.66 0.29 2.59 151.64 152.99 153.56 80 1.04
## mu[348] 104.51 0.13 2.07 103.46 104.73 105.47 243 1.03
## mu[349] 97.00 0.09 1.31 95.93 96.95 98.02 226 1.02
## mu[350] 160.76 0.04 0.88 160.02 160.78 161.50 408 1.00
## mu[351] 159.55 0.07 1.16 158.82 159.60 160.31 277 1.02
## mu[352] 161.52 0.08 1.37 160.53 161.42 162.47 329 1.02
## mu[353] 160.40 0.05 0.95 159.67 160.43 161.09 351 1.01
## mu[354] 91.65 0.08 1.50 90.67 91.75 92.70 393 1.01
## mu[355] 70.21 0.20 2.96 68.53 69.89 71.93 209 1.03
## mu[356] 138.07 0.19 2.42 137.10 138.26 139.22 164 1.04
## mu[357] 153.48 0.29 2.45 152.47 153.79 154.37 69 1.04
## mu[358] 153.39 0.29 2.46 152.38 153.70 154.29 70 1.04
## mu[359] 91.44 0.09 1.48 90.33 91.34 92.50 248 1.02
## mu[360] 87.59 0.06 1.41 86.58 87.67 88.70 538 1.01
## mu[361] 77.32 0.19 2.38 75.85 77.08 78.91 155 1.03
## mu[362] 90.91 0.07 1.48 89.91 91.00 91.96 413 1.01
## mu[363] 71.53 0.07 1.85 70.17 71.47 73.11 611 1.01
## mu[364] 94.30 0.09 1.38 93.23 94.22 95.32 233 1.02
## mu[365] 73.75 0.07 1.72 72.42 73.71 75.24 700 1.01
## mu[366] 157.00 0.11 1.44 155.67 157.08 158.15 159 1.04
## mu[367] 154.29 0.28 2.28 153.27 154.57 155.16 66 1.04
## mu[368] 94.96 0.09 1.36 93.87 94.89 95.97 231 1.02
## mu[369] 95.42 0.09 1.35 94.33 95.36 96.44 229 1.02
## mu[370] 72.17 0.07 1.81 70.82 72.12 73.73 638 1.01
## mu[371] 78.91 0.05 1.49 77.70 78.92 80.25 872 1.01
## mu[372] 160.23 0.05 0.99 159.51 160.27 160.94 332 1.01
## mu[373] 133.00 0.27 3.30 131.75 133.38 134.07 147 1.04
## mu[374] 138.64 0.28 3.35 137.43 139.05 139.71 146 1.04
## mu[375] 160.97 0.15 2.40 159.62 160.75 162.33 242 1.03
## mu[376] 117.34 0.13 1.74 116.35 117.45 118.42 172 1.03
## mu[377] 80.87 0.17 2.11 79.50 80.67 82.28 163 1.03
## mu[378] 75.63 0.06 1.63 74.35 75.60 77.07 768 1.01
## mu[379] 87.31 0.06 1.40 86.28 87.38 88.41 551 1.01
## mu[380] 161.15 0.14 2.19 159.87 160.94 162.46 261 1.03
## mu[381] 74.38 0.06 1.69 73.07 74.35 75.85 724 1.01
## mu[382] 130.10 0.27 3.23 128.81 130.47 131.17 148 1.04
## mu[383] 160.36 0.05 0.96 159.63 160.40 161.06 346 1.01
## mu[384] 89.01 0.10 1.60 87.83 88.89 90.15 261 1.02
## mu[385] 95.13 0.09 1.62 94.17 95.27 96.13 325 1.02
## mu[386] 154.60 0.26 2.21 153.66 154.88 155.47 70 1.04
## mu[387] 154.83 0.25 2.15 153.83 155.10 155.69 74 1.04
## mu[388] 156.37 0.16 1.65 155.37 156.57 157.26 110 1.04
## mu[389] 159.93 0.06 1.06 159.20 159.98 160.66 307 1.01
## mu[390] 113.12 0.19 2.53 111.89 113.40 114.11 182 1.04
## mu[391] 112.15 0.11 1.53 111.15 112.21 113.19 179 1.03
## mu[392] 89.40 0.10 1.58 88.25 89.29 90.54 259 1.02
## mu[393] 153.74 0.29 2.40 152.72 154.03 154.62 67 1.04
## mu[394] 134.50 0.18 2.35 133.53 134.66 135.64 165 1.04
## mu[395] 114.70 0.12 1.63 113.74 114.79 115.74 175 1.03
## mu[396] 94.59 0.09 1.60 93.63 94.72 95.58 333 1.02
## mu[397] 161.09 0.14 2.27 159.78 160.87 162.41 253 1.03
## mu[398] 150.36 0.26 2.88 149.20 150.72 151.31 121 1.04
## mu[399] 133.23 0.18 2.32 132.26 133.41 134.37 165 1.04
## mu[400] 156.84 0.12 1.45 155.69 157.00 157.80 152 1.04
## mu[401] 83.43 0.14 1.93 82.14 83.24 84.73 185 1.03
## mu[402] 77.43 0.19 2.37 75.96 77.18 79.02 155 1.03
## mu[403] 159.78 0.06 1.10 159.05 159.84 160.52 294 1.01
## mu[404] 111.20 0.17 2.43 110.01 111.47 112.15 192 1.03
## mu[405] 152.40 0.17 2.15 151.39 152.57 153.44 168 1.03
## mu[406] 161.03 0.04 0.87 160.25 161.03 161.79 451 1.00
## mu[407] 71.96 0.07 1.83 70.60 71.90 73.52 630 1.01
## mu[408] 136.55 0.19 2.39 135.58 136.72 137.68 164 1.04
## mu[409] 78.37 0.18 2.30 76.93 78.14 79.90 157 1.03
## mu[410] 153.90 0.29 2.36 152.88 154.19 154.78 65 1.04
## mu[411] 161.39 0.05 1.00 160.56 161.35 162.19 411 1.01
## mu[412] 155.57 0.14 1.86 154.58 155.71 156.50 174 1.03
## mu[413] 147.46 0.26 3.12 146.36 147.85 148.46 138 1.04
## mu[414] 161.46 0.06 1.09 160.60 161.40 162.34 380 1.01
## mu[415] 154.39 0.28 2.26 153.37 154.66 155.26 67 1.04
## mu[416] 74.58 0.06 1.68 73.28 74.55 76.05 731 1.01
## mu[417] 153.37 0.29 2.47 152.36 153.68 154.27 70 1.04
## mu[418] 160.00 0.06 1.05 159.28 160.05 160.73 312 1.01
## mu[419] 149.78 0.25 2.94 148.67 150.15 150.74 133 1.04
## mu[420] 143.66 0.27 3.28 142.42 144.07 144.70 143 1.04
## mu[421] 124.51 0.16 2.03 123.53 124.66 125.60 167 1.03
## mu[422] 154.02 0.16 2.02 153.01 154.18 155.00 170 1.03
## mu[423] 147.32 0.27 3.12 146.21 147.70 148.31 139 1.04
## mu[424] 160.82 0.04 0.88 160.07 160.83 161.56 419 1.00
## mu[425] 144.85 0.27 3.24 143.61 145.26 145.89 142 1.04
## mu[426] 84.04 0.14 1.89 82.75 83.86 85.33 192 1.03
## mu[427] 158.13 0.10 1.47 157.31 158.22 158.96 199 1.03
## mu[428] 160.65 0.05 0.90 159.91 160.67 161.38 388 1.00
## mu[429] 139.87 0.19 2.44 138.89 140.07 141.04 164 1.04
## mu[430] 161.38 0.05 0.99 160.56 161.34 162.18 414 1.01
## mu[431] 153.82 0.29 2.38 152.79 154.11 154.70 66 1.04
## mu[432] 136.83 0.19 2.40 135.87 137.01 137.97 164 1.04
## mu[433] 118.25 0.14 1.77 117.26 118.37 119.34 171 1.03
## mu[434] 160.65 0.05 0.90 159.91 160.67 161.38 388 1.00
## mu[435] 153.89 0.16 2.03 152.89 154.06 154.88 170 1.03
## mu[436] 159.99 0.06 1.05 159.27 160.04 160.72 311 1.01
## mu[437] 160.98 0.15 2.39 159.63 160.76 162.34 243 1.03
## mu[438] 160.79 0.04 0.88 160.04 160.80 161.53 413 1.00
## mu[439] 156.14 0.17 1.74 155.21 156.35 157.03 107 1.04
## mu[440] 97.37 0.09 1.31 96.31 97.33 98.39 225 1.02
## mu[441] 69.50 0.09 1.98 68.10 69.41 71.13 522 1.02
## mu[442] 160.36 0.05 0.96 159.63 160.40 161.06 346 1.01
## mu[443] 144.77 0.27 3.25 143.53 145.18 145.81 142 1.04
## mu[444] 146.21 0.27 3.18 145.02 146.62 147.23 140 1.04
## mu[445] 156.40 0.16 1.64 155.39 156.59 157.29 111 1.04
## mu[446] 161.42 0.05 1.04 160.57 161.37 162.25 399 1.01
## mu[447] 159.90 0.06 1.07 159.17 159.95 160.63 304 1.01
## mu[448] 146.70 0.27 3.16 145.54 147.10 147.70 140 1.04
## mu[449] 130.02 0.17 2.22 129.05 130.19 131.14 165 1.03
## mu[450] 106.68 0.10 1.36 105.62 106.71 107.70 192 1.02
## mu[451] 160.81 0.04 0.88 160.06 160.82 161.55 417 1.00
## mu[452] 148.05 0.26 3.08 146.96 148.43 149.05 137 1.04
## mu[453] 76.35 0.06 1.59 75.08 76.33 77.78 801 1.01
## mu[454] 160.27 0.05 0.98 159.55 160.31 160.98 336 1.01
## mu[455] 132.43 0.27 3.28 131.16 132.81 133.50 147 1.04
## mu[456] 75.00 0.06 1.66 73.71 74.97 76.46 746 1.01
## mu[457] 76.05 0.19 2.48 74.55 75.79 77.65 163 1.03
## mu[458] 161.24 0.12 2.06 160.00 161.05 162.49 276 1.03
## mu[459] 144.56 0.19 2.44 143.60 144.76 145.71 165 1.04
## mu[460] 161.44 0.10 1.71 160.33 161.29 162.53 296 1.03
## mu[461] 160.75 0.04 0.88 160.01 160.77 161.49 406 1.00
## mu[462] 153.11 0.29 2.51 152.06 153.42 154.00 74 1.04
## mu[463] 71.74 0.07 1.84 70.38 71.69 73.32 621 1.01
## mu[464] 142.77 0.28 3.30 141.53 143.18 143.81 144 1.04
## mu[465] 156.67 0.14 1.52 155.60 156.85 157.59 123 1.04
## mu[466] 156.09 0.13 1.79 155.14 156.23 157.01 177 1.03
## mu[467] 62.48 0.13 2.51 60.81 62.31 64.38 378 1.02
## mu[468] 72.40 0.19 2.78 70.78 72.09 74.06 209 1.03
## mu[469] 154.06 0.29 2.33 153.06 154.34 154.93 65 1.04
## mu[470] 141.62 0.28 3.33 140.38 142.02 142.67 144 1.04
## mu[471] 104.01 0.13 2.05 102.96 104.23 104.96 246 1.03
## mu[472] 75.31 0.06 1.64 74.04 75.28 76.76 758 1.01
## mu[473] 160.27 0.05 0.98 159.55 160.31 160.98 336 1.01
## mu[474] 155.17 0.23 2.06 154.20 155.43 156.05 83 1.04
## mu[475] 113.28 0.19 2.53 112.05 113.56 114.26 181 1.04
## mu[476] 95.61 0.09 1.34 94.52 95.55 96.62 228 1.02
## mu[477] 160.32 0.05 0.97 159.60 160.36 161.02 342 1.01
## mu[478] 151.13 0.27 2.80 150.01 151.48 152.07 106 1.04
## mu[479] 161.27 0.04 0.92 160.48 161.25 162.05 442 1.00
## mu[480] 154.59 0.27 2.21 153.63 154.86 155.46 69 1.04
## mu[481] 87.31 0.06 1.40 86.28 87.38 88.41 551 1.01
## mu[482] 156.94 0.12 1.67 156.03 157.06 157.83 182 1.03
## mu[483] 151.89 0.28 2.70 150.78 152.23 152.81 93 1.04
## mu[484] 83.23 0.14 1.94 81.93 83.03 84.53 183 1.03
## mu[485] 159.16 0.08 1.25 158.39 159.23 159.94 245 1.02
## mu[486] 156.90 0.11 1.42 155.76 157.05 157.89 157 1.04
## mu[487] 120.49 0.14 1.87 119.47 120.62 121.58 170 1.03
## mu[488] 91.73 0.09 1.47 90.62 91.63 92.78 246 1.02
## mu[489] 161.01 0.04 0.87 160.23 161.01 161.76 448 1.00
## mu[490] 131.62 0.27 3.27 130.34 132.00 132.70 148 1.04
## mu[491] 161.42 0.05 1.03 160.57 161.36 162.24 402 1.01
## mu[492] 153.71 0.29 2.40 152.71 154.01 154.60 67 1.04
## mu[493] 110.85 0.11 1.48 109.83 110.90 111.87 181 1.02
## mu[494] 144.73 0.27 3.25 143.49 145.14 145.77 142 1.04
## mu[495] 142.85 0.28 3.30 141.62 143.26 143.90 144 1.04
## mu[496] 152.96 0.29 2.54 151.90 153.28 153.86 76 1.04
## mu[497] 140.14 0.28 3.34 138.90 140.54 141.20 145 1.04
## mu[498] 160.03 0.06 1.04 159.31 160.08 160.76 314 1.01
## mu[499] 156.61 0.13 1.72 155.69 156.74 157.51 180 1.03
## mu[500] 152.76 0.16 2.13 151.76 152.93 153.79 168 1.03
## mu[501] 157.81 0.11 1.52 156.97 157.92 158.66 192 1.03
## mu[502] 161.49 0.09 1.55 160.43 161.36 162.51 308 1.03
## mu[503] 153.04 0.29 2.52 151.97 153.36 153.93 75 1.04
## mu[504] 121.37 0.15 1.90 120.35 121.51 122.45 169 1.03
## mu[505] 86.63 0.06 1.40 85.61 86.70 87.76 584 1.01
## mu[506] 154.55 0.15 1.97 153.54 154.70 155.51 171 1.03
## mu[507] 153.33 0.29 2.47 152.31 153.64 154.22 71 1.04
## mu[508] 99.75 0.11 1.83 98.69 99.93 100.70 279 1.03
## mu[509] 122.31 0.15 1.94 121.30 122.46 123.39 168 1.03
## mu[510] 161.52 0.07 1.31 160.56 161.43 162.45 336 1.02
## mu[511] 148.53 0.26 3.04 147.40 148.90 149.52 136 1.04
## mu[512] 110.81 0.17 2.41 109.61 111.08 111.76 195 1.03
## mu[513] 90.09 0.10 1.54 88.95 89.98 91.18 256 1.02
## mu[514] 93.50 0.08 1.56 92.54 93.61 94.50 352 1.02
## mu[515] 152.90 0.29 2.55 151.85 153.22 153.80 77 1.04
## mu[516] 145.25 0.27 3.23 144.03 145.66 146.28 141 1.04
## mu[517] 153.98 0.29 2.35 152.97 154.27 154.86 65 1.04
## mu[518] 60.12 0.14 2.70 58.35 59.93 62.10 348 1.02
## mu[519] 148.09 0.26 3.07 146.99 148.47 149.08 137 1.04
## mu[520] 63.71 0.12 2.41 62.08 63.55 65.52 397 1.02
## mu[521] 100.64 0.09 1.28 99.63 100.63 101.67 216 1.02
## mu[522] 125.55 0.16 2.07 124.57 125.71 126.64 166 1.03
## mu[523] 84.00 0.05 1.40 82.95 84.05 85.19 724 1.00
## mu[524] 158.42 0.10 1.41 157.61 158.50 159.25 206 1.02
## mu[525] 153.84 0.29 2.38 152.81 154.13 154.72 66 1.04
## mu[526] 129.70 0.17 2.21 128.72 129.87 130.81 165 1.03
## mu[527] 119.50 0.22 2.84 118.29 119.82 120.51 161 1.04
## mu[528] 96.21 0.09 1.67 95.23 96.36 97.19 311 1.02
## mu[529] 160.53 0.05 0.92 159.79 160.55 161.25 369 1.00
## mu[530] 149.63 0.26 2.95 148.52 149.99 150.59 134 1.04
## mu[531] 124.72 0.25 3.05 123.50 125.07 125.77 153 1.04
## mu[532] 84.00 0.05 1.40 82.95 84.05 85.19 724 1.00
## mu[533] 155.85 0.14 1.82 154.88 155.99 156.77 175 1.03
## mu[534] 151.11 0.27 2.80 149.98 151.46 152.04 107 1.04
## mu[535] 155.63 0.19 1.92 154.70 155.87 156.50 99 1.04
## mu[536] 110.36 0.11 1.47 109.34 110.41 111.37 182 1.02
## mu[537] 71.64 0.07 1.85 70.28 71.58 73.22 616 1.01
## mu[538] 142.85 0.28 3.30 141.62 143.26 143.90 144 1.04
## mu[539] 79.10 0.18 2.24 77.68 78.88 80.63 158 1.03
## mu[540] 142.21 0.19 2.45 141.25 142.42 143.37 164 1.04
## mu[541] 161.50 0.06 1.20 160.60 161.43 162.42 353 1.02
## mu[542] 156.94 0.12 1.53 155.51 157.00 158.17 157 1.04
## mu[543] 79.21 0.18 2.23 77.78 78.99 80.74 158 1.03
## mu[544] 161.52 0.07 1.28 160.58 161.43 162.44 340 1.02
## lp__ -1323.61 164.14 238.94 -1685.71 -1190.02 -1188.07 2 4.82
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Fri Nov 22 17:59:50 2019.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).